« Série numérique/Exercices/Critère d'Abel » : différence entre les versions

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m →‎Exercice 3 : màj
Ligne 141 :
*la suite <math>\left(\frac1n\right)</math> est monotone et de limite nulle ;
*la série <math>\sum(-z)^n</math> a ses sommes partielles bornées : <math>\left|\sum_{n=1}^N(-z)^n\right|=\left|-z\,\frac{1-(-z)^N}{1+z}\right|\le\frac2{|1+z|}</math>.
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==Exercice 9==
Soit <math>f(x)=\frac{x^3+ax^2+bx+c}{x^2+ax+d}</math> avec <math>a,b,c,d\in\R</math>. Calculer <math>f(x)-x</math> et montrer que la série <math>\sum\sin\left(\pi f(n)\right)</math> converge. À quelle condition la convergence est-elle absolue ?
{{Solution|contenu=
<math>g(x)=f(x)-x=\frac{ex+c}{x^2+ax+d}</math> avec <math>e=b-d</math> (<math>f(x)</math> et <math>g(x)</math> étant définis pour <math>x</math> suffisamment grand, et même pour tout <math>x\in\R</math> si <math>a^2-4d<0</math>).
 
<math>\sin\left(\pi f(n)\right)=\sin\left(\pi g(n)+n\pi\right)=(-1)^n\sin\left(\pi g(n)\right)</math>.
 
<math>g'(x)=\frac{-ex^2-2cx+ed-ca}{(x^2+ax+d)^2}</math> étant de signe constant pour <math>x</math> suffisamment grand, il existe <math>\alpha\in\R</math> tel que, sur <math>\left]\alpha,+\infty\right[</math>, <math>g</math> soit (définie et) monotone.
 
De plus, puisque <math>\lim_{+\infty}g=0</math>, il existe <math>\beta\ge\alpha</math> tel que, sur <math>\left]\beta,+\infty\right[</math>, <math>|g|\le\frac12</math> donc sur ce sous-intervalle, <math>x\mapsto\sin\left(\pi g(x)\right)</math> est encore monotone.
 
La suite <math>\left(\sin\left(\pi g(n)\right)\right)</math> est donc (définie et) monotone à partir d'un certain rang. Comme elle tend vers 0, le critère d'Abel (ou même le critère de Dirichlet, qui en est un cas particulier) s'applique et la série <math>\sum\sin\left(\pi f(n)\right)=\sum(-1)^n\sin\left(\pi g(n)\right)</math> converge.
 
Puisque <math>\left|\sin\left(\pi g(n)\right)\right|\sim\pi|g(n)|\sim\pi\frac{|en+c|}{n^2}</math>, la convergence est absolue si et seulement si <math>e=0</math>, c.-à-d. <math>b=d</math>.
}}