« Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité » : différence entre les versions

Montrer que <math>f</math> est positivement homogène de degré <math>\alpha</math> (c'est.-à-dired. <math>\forall x\in C\quad\forall t>0\quad f(tx)=t^\alpha f(x)</math>) si et seulement si elle vérifie la condition d'[[Histoire des mathématiques/Quelques mathématiciens célèbres|Euler]] :

#<math>\phi=g\circ L</math> avec <math>L:\R\to\R^2,\;x\mapsto(x,-x)</math> linéaire donc <math>\phi</math> est différentiable et <math>\mathrm d\phi_x=\mathrm d g_{L(x)}\circ\mathrm d L_x=\mathrm d g_{(x,-x)}\circ L</math>, c'est.-à-dired.<br><math>\mathrm d\phi_x(u)=\mathrm d g_{(x,-x)}(u,-u)=\frac{\partial g}{\partial x}(x,-x)u+\frac{\partial g}{\partial y}(x,-x)(-u)</math> autrement dit : <math>\phi</math> est dérivable et <math>\phi'(x)=\frac{\partial g}{\partial x}(x,-x)-\frac{\partial g}{\partial y}(x,-x)</math>.

#<math>\psi=g\circ T</math> avec <math>T:\R^2\to\R^2,\;(x,y)\mapsto(y,x)</math> linéaire donc <math>\psi</math> est différentiable et <math>\mathrm d\psi_{(x,y)}=\mathrm d g_{\,T(x,y)}\circ\mathrm d T_{(x,y)}=\mathrm d g_{(y,x)}\circ T</math>, c'est.-à-dired.<br><math>\mathrm d\psi_{(x,y)}(u,v)=\mathrm d g_{(y,x)}(v,u)=\frac{\partial g}{\partial x}(y,x)v+\frac{\partial g}{\partial y}(y,x)u</math>.

#<math>h=f\circ a\circ(p,g)</math> avec <math>p,a</math> définies par <math>p(x,y)=x</math> et <math>a(x,z)=x+z</math>.<br><math>p,a:\R^2\to\R</math> sont linéaires donc <math>h</math> est différentiable et<br><math>\mathrm d h_{(x,y)}=f'(x+g(x,y))\times\mathrm d a_{(x,g(x,y))}\circ(\mathrm d p_{(x,y)},\mathrm d g_{(x,y)})=f'(x+g(x,y))\times a\circ(p,\mathrm d g_{(x,y)})=f'(x+g(x,y))\times(p+\mathrm d g_{(x,y)})</math>, c'est.-à-dired.<br><math>\mathrm d h_{(x,y)}(u,v)=f'(x+g(x,y))\left[\left(1+\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)\right)u+\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)v\right]</math>.

#<math>k=f\circ m\circ(p,q,g)</math> avec <math>p,q,m</math> définies par <math>p(x,y)=x</math>, <math>q(x,y)=y</math> et <math>m(x,y,z)=xy^2z</math>.<br><math>p,q:\R^2\to\R</math> sont linéaires et <math>m:\R^3\to\R</math> est polynomiale, avec <math>\mathrm d m_{(x,y,z)}(u,v,w)=y^2zu+2xyzv+xy^2w</math>. Donc <math>k</math> est différentiable et <math>\mathrm d k_{(x,y)}=f'(xy^2g(x,y))\times\mathrm d m_{(x,y,g(x,y))}\circ(\mathrm d p_{(x,y)},\mathrm d q_{(x,y)},\mathrm d g_{(x,y)})=f'(xy^2g(x,y))\times\mathrm d m_{(x,y,g(x,y))}\circ(p,q,\mathrm d g_{(x,y)})</math>, c'est.-à-dired.<br><math>\begin{align}\mathrm d k_{(x,y)}(u,v&)=f'(x+g(x,y))\left[\left(y^2g(x,y)+xy^2\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)\right)u+\left(2xyg(x,y)+xy^2\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)\right)v\right]

Redémontrer ''directement'' le corollaire 1 du cours (dont le corollaire 2 est une conséquence immédiate très utile) dans le ''cas particulier plus simple'' où <math>F</math> est l'[[espace euclidien]] <math>\R^n</math>, c'est.-à-dired. :