« Espaces vectoriels normés/Connexité » : différence entre les versions
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Ajouts de définition |
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:Dans ce chapitre nous allons voir une notion centrale de la topologie : la connexité. Nous aborderons un cas partculier dans les e.v.n. : la convexité.
:Dans toute la suite, <math>E</math> désigne un e.v.n. et <math>A</math> est une partie de <math>E</math>
{{clr}}
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{{Définition
| titre = Définition : Recouvrement ouvert et connexité.
| contenu =
:* Un recouvrement ouvert
:*
}}
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== Connexité par arcs ==
=== Définition ===
{{Définition
| titre = Définition : Arc, connexité par arcs.
| contenu =
:* On appelle arc à valeurs dans <math> A</math> une application continue de <math>[0,1]</math> dans <math>A</math>.
:* On dit que <math>A</math> est connexe par arcs si pour tous points <math>x,y \in A</math>, il existe un arc <math>\gamma</math> à valeurs dans <math>A</math> tel que <math>\gamma(0)=x</math> et <math>\gamma(1)=y</math>.
}}
;Remarque :
*Concernant les arcs, il est important de distinguer d'une part l'arc qui est une application, et d'autre part son image qui est une partie de l'espace. De nombreux auteurs font l'abus de notation de noter encore <math>\gamma</math> l'image de l'arc, en particulier lorsque l'on aborde l'analyse complexe.
== Convexité ==
=== Définition ===
{{Définition
| titre = Définition : Segment, convexité.
| contenu =
:* On appelle segment entre <math>x,y \in E</math> l'ensemble <math>[x,y]=\{tx+(1-t)y\ |\ t\in [0,1]\}</math>.
:* On dit que <math>A</math> est convexe si pour tous points <math>x,y \in A</math>, le segment <math>[x,y]\subset A</math>.
}}
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