« Espaces vectoriels normés/Connexité » : différence entre les versions
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Ajouts de définition |
Ajouts divers (non fini). |
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Ligne 23 :
;Remarque :
*On rappelle que disjoint signifie d'intersection vide.
;Exemples :
*Nous allons voir, à la fin de ce chapitre, un exemple fondamental : tout e.v.n. est connexe. La preuve utilise la notion de convexité et est donc reportée à la fin du chapitre.
*Nous allons voir que pour <math>\R</math> les parties connexes sont exactement les intervalles. Cela nécessite quelques propositions intermédiaires avant de pouvoir être démontré proprement.
Voyons tout d'abord d'autres caractérisations de la continuité. Le lecteur ne doit pas hésiter à relire la partie introduction à la topologie pour aborder la démonstration ainsi que les suivantes.
{{Propriété
| contenu =
On a équivalence entre les trois points suivants :
# <math>A</math> est connexe.
# Le seul recouvrement de <math>A</math> en deux fermés disjoints de <math>A</math> est <math>{\emptyset, A}</math>.
# Les seules parties à la fois ouvertes et fermées de <math>A</math> sont <math>\emptyset</math> et <math>A</math>.
}}
{{Démonstration déroulante
| contenu =
:Les deux premières propriétés sont équivalentes par passage au complémentaire dans la définition de la connexité.
:Montrons que 2. implique 3..
:Soit <math>O</math> une partie à la fois ouverte et fermée de <math>A</math>
:Alors <math>O \cup A\backslash O</math> est un recouvrement de <math>A</math> en deux fermés, donc soit <math>O=\emptyset</math> soit <math>O=A</math>.
:Finalement, montrons que 3. implique 1..
:Soit <math>O,\ O'</math> deux ouverts disjoints de <math>A</math> tels que <math>O\cup O' =A</math>.
:Alors, <math>O=A\O'</math> est à la fois ouvert et fermé, et on a : <math> O=\emptyset</math> et <math>O'=A</math> ou l'inverse, ce qui prouve que <math>A</math> est connexe.
}}
=== Continuité et connexité ===
== Connexité par arcs ==
Ligne 36 ⟶ 62 :
*Concernant les arcs, il est important de distinguer d'une part l'arc qui est une application, et d'autre part son image qui est une partie de l'espace. De nombreux auteurs font l'abus de notation de noter encore <math>\gamma</math> l'image de l'arc, en particulier lorsque l'on aborde l'analyse complexe.
{{Propriété
| contenu =
Si <math>A</math> est connexe par arcs alors <math>A</math> est connexe.
}}
== Convexité ==
Les notions de connexité et de connexité par arcs dépassent largement le cadre des e.v.n., cependant la structure algébrique d'espace vectoriel va nous permettre d'introduire une autre notion peut-être plus simple pour le lecteur débutant : la convexité.
Géométriquement, <math>A</math> est convexe si tous les segments que l'on peut constituer à partir de point de <math>A</math> sont inclus dans <math>A</math>. Les intérets des parties convexes sont multiples que ce soit en géométrie ou en optimisation par exemple, mais dans notre cadre elle nous servirons à démontrer que des parties sont connexes/connexes par arcs.<br \>
Concrètement l'idée ci-dessus se traduit dans la définition suivante :
{{Définition
Ligne 47 ⟶ 79 :
}}
;Remarque :
*Dans <math>\R^2</math>, le lecteur peut vérifier que la définition donnée pour les segments correspond à un paramétrisation du segment naturelle.
*Tout e.v.n. est convexe.
La propriété suivante nous fournit d'autres exemples de parties convexes :
{{Propriété
|contenu =
* Toute boule ouverte ou fermée est convexe.
* Une intersection de partie convexe est convexe.
}}
{{Démonstration déroulante
| contenu=
:Montrons la première affirmation pour des boules ouvertes, le raisonnement est identique pour les boules fermées.
:Soit <math>B(a,R)</math> une boule ouverte, et <math>x,y \in B(a,R)</math>.
:En utilisant les propriétés des normes et des boules, on a : <math>\|tx+(1-t)y-a\| = \|t(x-a)+(1-t)(y-a)\|\leq t\|x-a\|+(1-t)\|y-a\|\leq R</math>.
:La seconde partie de la propriété est évidente.
}}
La proposition suivante est quasimment immédiate à partir de la définition, la démonstration ne figurant qu'à titre d'exemple.
Cependant, le résultat est très important pour démontrer qu'un espace est connexe par arcs, en effet la convexité est souvent plus facile à démontrer et à visualiser géométriquement quand on a l'habitude de ces notions. ELle constitue également notre principale application de la connexité ici.
{{Propriété
|contenu =
Si <math>A</math> est convexe alors <math>A</math> est connexe par arcs (et donc connexe).
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu =
:Soit <math>x,y \in A</math>.
:Prendre pour arc <math>\begin{align}\gamma\ :\ &[0,1] &\to &\ \ A & \\& t &\mapsto & x+(1-t)y& \end{align}</math> qui est bien un arc de <math>A</math> par définition de la convexité.
}}
Ce résultat nous permet de démontrer ainsi que tout e.v.n. est connexe, ce qui justifie la première remarque de ce chapitre.
{{Bas de page
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