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« Systèmes du premier ordre/Diagrammes de Bode » : différence entre les versions

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La représentation en [[diagramme de Bode]] ded'un cesystème typedu depremier systèmeordre est fondamentalfondamentale car ilelle permet de modéliser la plupart des systèmes d'ordres supérieurs à coefficients réels. Nous avons vu dans le chapitre précédent qu'une fonction de transfert peut être représentéreprésentée par un nombre complexe <math>\underline H(j\omega)</math> qui dépend donc de la fréquence. Le diagramme de Bode répond à la question de savoir comment varient le module (appelé ''gain'') et la phase de ce nombre complexe en fonction de la fréquence.
== Diagramme asymptotique du gain et de la phase ==
Nous allons nous intéresser à ce que l’on appelle le diagramme asymptotique dans cette section. Cette notion est abordée un peu plus loin (de manière un peu plus formelle) dans ce cours, mais nous allons commencer par des recettes qui ressemblent plus à de la recette de cuisine.
=== Pôles et zéros d'une fonction de transfert ===
Même si, jusqu'à présent, nous nous sommes contentécontentés d'examiner le premier ordre, une fonction de transfert dans le cas général est un quotient de deux polynômes, (un pour leau numérateur, etl'autre un pour leau dénominateur). Une valeur qui annule un polynôme est appelée un [[w:Zéro_d'une_fonction|''zéro'']]. Si ce polynôme est au dénominateur, sonses zéro''zéros'' devientsont unappelés [[w:Pôle_(mathématiques)|pôlepôles]].
=== Diagramme asymptotique du gain ===
Le diagramme de Bode se trace sur du papier semi-log. C'est l'axe des fréquences (ou pulsations) qui est logarithmique. Il s'agit de l'axe horizontal. La fréquence 0 se trouve à <math>-\infty</math> sur cet axe et la fréquence <math>+\infty</math> à <math>+\infty</math>. C'est une propriété de la fonction logarithmique.
 
L'axe vertical d'un diagramme de Bode estreprésente enle gain et a pour unité le [[w:Décibel|Décibeldécibel]]. CelaLe gain en dB se calcule, enpar définition, avec la prenantformule <math>G_{\rm dB} = 20 \cdot~ \log(|\underline H(j\omega)|)</math>.
 
{{principe|contenu=Pour tracer le diagramme asymptotique du gain on procède commede cecila façon suivante :
on part de la fréquence 0 qui se trouve à <math>-\infty</math> sur notre axe pour se déplacer vers la droite.
* leLe départ se fait à l'horizontal sauf si un pôle ou un zéro sontest présentsprésent à nos côtés auquel cas on applique l'une des deux règles ci-après :
* chaque fois que l’on rencontre un pôle sur la droite la pente de notre asymptote décroit de 20 dB/dec ;
* chaque fois que l’on rencontre un zéro sur la droite la pente de notre asymptote s’accroitcroit de 20 dB/dec.
}}
Ceci'''Remarque mérite quelques explications quant à l:'''unité dB/dec. dB désigne lel'unité Décibel''décibel tandis que dec désigne unepar décade''.
 
Un peu d'humour : ne faites jamais vos bagages pour partir à <math>-\infty</math>. Laissez votre cerveau vous y emmener par la pensée.
 
=== Diagramme asymptotique de la phase ===
 
== Courbe de Gain gain ==
=== Calcul ===
* Par définition le gain en décibeldécibels vaut :
<math>G_{\mathrm{dB}}=20~\log(|\underline H(p)|)</math>
 
d'où :
d'où <math>G_{\mathrm{dB}}=20~\log(|\frac{K}{1+p\tau}|)=20~\log(\frac{|K|}{|1+p\tau|})=20~\log(\frac{K}{\sqrt{1+p^2\tau^2}})</math>▼
 
▲d'où <math>G_{\mathrm{dB}}=20~\log \left( \left| \frac{K}{1+p\tau p} \right| \right)=20~\log \left( \frac{|K|}{|1+p\tau|} \right)=20~\log \left( \frac{K}{\sqrt{1+p^2\tau^2}} \right)</math>.
=== Représentation Asymptotique ===▼
On remplace ici <math>p=j\omega</math>
 
▲=== Représentation Asymptotique asymptotique ===
On constate que ▼
Dans le formalisme de Laplace (voir [[transformée de Laplace]]), on a <math>p=j\omega</math>. On remplace donc dans l'expression.
 
▲On constate que :
* <math>\lim_{\omega \to 0} G_{\mathrm{dB}}(j\omega)= 20~\log(K)</math> ce qui donne une '''asymptote horizontale''' d'ordonnée à l'origine 20.log(K)▼
 
▲* <math>\lim_{\omega \to 0} G_{\mathrm{dB}}(j\omega)= 20~\log(K)</math> ce qui donne une '''asymptote horizontale''' d'ordonnée à l'origine 20.log(K).
De même:▼
 
▲De même :
 
* <math>\lim_{\omega \to \infty} \sqrt{1+\omega^2\tau^2}= \tau\omega</math>
 
d'où
<math>\lim_{\omega \to \infty} G_{\mathrm{dB}}(j\omega)= 20~\log \left( \frac{K}{\tau} \right)-20~\log(\omega)</math>
On a donc une '''asymptote oblique''' de pente -20dB20 dB par décade (= -6dB par octave).
 
 
CeL'abscisse pointcorrespondant particulierà l'intersection des deux asymptotes est un point particulier appelé ''pulsation de cassure'' et vaut <math>\omegaomega_0=\frac1{\tau}</math>.▼
Intersection des 2 asymptotes
▲Ce point particulier est appelé pulsation de cassure et vaut <math>\omega=\frac1{\tau}</math>
 
=== Points particuliers ===
On voit apparaitre un certain nombre de points remarquables bien pratiques pour tracer avec précision:
* Lala pulsation de cassure en <math>\omegaomega_0=\frac{1}{\tau}</math> se trouve 3db3 dB en dessous de l'asymptote horizontale. ;
* Lala pulsation un octave avant la cassure <math>\omega=\frac{1}{2\tau}</math> qui elle se trouve à 1db1dB sous l'asymptote horizontale. ;
* Lala pulsation un octave après la cassure <math>\omega=\frac{2}{\tau}</math> qui se trouve à 7db7 dB sous l'asymptote horizontale.
 
{{Démonstration déroulante|contenu=
* en <math>\omegaomega_0=\frac{1}{\tau}</math> <math>A_db=20 \log \frac{K}{\sqrt {1+\tau^2\omega^2}}=20 \log \frac{K}{\sqrt 2} \approx 20 \log K - 3</math>
On est donc bien à 3db3 dB sous l'asymptote horizontale.
* en <math>\omega=\frac{1}{2\tau}</math> <math>A_db=20 \log \frac{K}{\sqrt {1+\tau^2\omega^2}}=20 \log \frac{K}{\sqrt {21+ \frac{1}{4}}} \approx 20 \log K - 1</math>
On est donc bien à 1db1 dB sous l'asymptote horizontale.
* en <math>\omega=\frac{2}{\tau}</math> <math>A_db=20 \log \frac{K}{\sqrt {1+\tau^2\omega^2}}=20 \log \frac{K}{\sqrt {21+4}} \approx 20 \log K - 7</math>
On est donc bien à 7db7 dB sous l'asymptote horizontale.
''CGFD''
}}
 
== Courbe de Phase phase ==
Par définition également, le déphasage entre l'entrée et la sortie vaut <math>\varphi=\arg(\underline H(j\omega))</math>
Comme précédemment, on constate que :
* <math>\lim_{\omega \to 0} \arg G_{\mathrm{dB}}(j\omega)= 0^\circ</math> ;
* <math>\lim_{\omega \to \infty} \arg G_{\mathrm{dB}}(j\omega)= -90^\circ</math>.
 
Ce qui nous donne les asymptotes. On note de plus que <math>\arg G_{\mathrm{dB}}(\omega_0)=-45^\circ</math>.
On note de plus que <math>\arg G_{\mathrm{dB}}(\omega_0)=-45</math>
 
== Représentation graphique ==
On obtient le tracé suivant :[[Fichier:FPBP1.png|thumb|right614x614px|500px|LeDiagrammes lieude Bode de gain et de bodephase d'un filtre passif de premier ordre (du type circuit RC).|alt=|centré]]
On obtient enfin le tracé suivant
 
== Voir aussi ==
* [[Transformée de Laplace]] dans un autre cours
* [[w:Transformée_de_Laplace|Transformée de Laplace]] dans wikipédia
 
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| idfaculté = sciences de l'ingénieur
| précédent = [[../Généralités/]]
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