« Espaces vectoriels normés/Connexité » : différence entre les versions
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== Connexité ==
Dans un premier temps, nous allons étudier la notion de connexité. De manière intuitive, <math>A</math> sera une partie connexe si elle est en un seul morceau. Nous n'allons pas rentrer trop loin dans cette notion,qui est délicate à manipuler au premier abord, l'objectif étant d'introduire la notion et de donner une démonstration plus conceptuelle du théorème des valeurs intermédiaires, ainsi qu'une généralisation.
=== Définition ===
Voyons tout d'abord la défnition d'une partie connexe :
{{Définition
| titre = Définition : Recouvrement ouvert et connexité.
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;Remarque :
*On rappelle que disjoint signifie d'intersection vide.
*On voit, à travers cette définition, que si <math>A</math> est composée de "plusieurs morceaux" alors on va pouvoir trouver un recouvrement de <math>A</math> en deux ouverts disjoints.
;Exemples :
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:Alors, <math>O=A\O'</math> est à la fois ouvert et fermé, et on a : <math> O=\emptyset</math> et <math>O'=A</math> ou l'inverse, ce qui prouve que <math>A</math> est connexe.
}}
;Remarque :
*On utilise souvent le point 3. de cette propriété de la façon suuivante : pour montrer qu'une propriété est vraie sur une partie connexe, on montre que l'ensemble des points tels que la propriété est vraie est une partie non vide, ouverte et fermée. Ceci implique alors que la propriété est vraie sur l'ensemble de la partie.
=== Continuité et connexité ===
{{Proposition
|titre= Proposition : Caractérisation de la connexité par les fonctions continues.
|contenu =
<math>A</math> est connexxe si et seulement si toute fonction continue <math>f\ :\ A\ \to \{0;1\}</math> est constante.
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu =
#Supposons tout d'abord que <math>A</math> est connexe.
#:Soit <math>f\ :\ A\ \to \{0;1\}</math> une fonction continue. Alors, on a <math>A=f^{-1}(\{0\}) \cup f^{-1}(\{1\})</math> qui est une union de fermés (car <math>f</math> est continue et <math>\{0\},\ \{1\}</math> sont des fermés de <math>\{0;1\}</math>) manifestement disjoints.
#:Ainsi, <math>f</math> est constante car soit <math>f^{-1}(\{0\})=A</math> soit<math>f^{-1}(\{1\})=A</math>.
#Supposons maintenant que <math>A</math> ne soit pas connexe.
#:On sait alors qu'il existe deux fermés non vides <math>F,\ G</math> de <math>A</math> tels que <math>A=F\cup G</math>, et <math>F\cap G = \emptyset</math>.
#:On peut alors définir une fonction :
#:<math>\begin{array}{ccccc}
f & : & E & \to & F \\
& & x & \mapsto & \begin{cases}
0 &\text{si } x \in F\\
1 &\text{si } x\in G
\end{cases}
\end{array}</math>
#:On vérifie alors que la fonction <math> f</math> est continue car les images réciproques des fermés de <math>\{0;1\}</math> (<math>\emptyset,\ \{0\},\ \{1\},\ \{0;1\}</math> sont des fermés de <math>A</math> (<math>\emptyset,\ F,\ G,\ A</math>). Or, <math>f</math> n'est pas constante, ce qui termine la preuve.
}}
;Remarque :
*On voit encore apparaître le fait que si <math>A</math> est composée d'une union disjointe d'ouverts, on va pouvoir définir des fonctions dans <math>\{0;1\}</math> qui prennent des valeurs différentes sur chaque ouvert, et qui seront continue.
== Connexité par arcs ==
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