« Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie » : différence entre les versions
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== Exercice
Soit <math>A\in\operatorname M_n(\Complex)</math>. Montrer que [[Réduction des endomorphismes/Exponentielle d'une matrice|son exponentielle]] est un [[Réduction des endomorphismes/Polynômes d'endomorphismes|polynôme en <math>A</math>]] ou plus généralement, que <math>f(A)\in\Complex[A]</math> pour toute [[Fonctions d'une variable complexe|fonction <math>f</math> d'une variable complexe]] développable en [[série entière]] en <math>0</math>, avec un rayon de convergence strictement supérieur à la [[Espaces vectoriels normés/Limites et continuité#Continuité des applications linéaires|norme subordonnée]] de <math>A</math> (pour une norme arbitraire fixée sur <math>\Complex^n</math>).
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== Exercice
Soit <math>K=\R</math> ou <math>\Complex</math>. Démontrer que dans <math>\mathrm M_n(K)</math> (muni d'une norme arbitraire), le sous-ensemble <math>\mathrm{GL}_n(K)</math> des matrices inversibles est dense.
{{Solution|contenu=
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== Exercice
Soit <math>f:\R^n\to\R</math> une application continue, admettant à l'infini une limite <math>L</math> (finie ou infinie) :
:<math>\lim_{\|x\|\to+\infty}f(x)=L\in\left[-\infty,+\infty\right]</math>.
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