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== Exercice 23-1==
Soit <math>A\in\operatorname M_n(\Complex)</math>. Montrer que [[Réduction des endomorphismes/Exponentielle d'une matrice|son exponentielle]] est un [[Réduction des endomorphismes/Polynômes d'endomorphismes|polynôme en <math>A</math>]] ou plus généralement, que <math>f(A)\in\Complex[A]</math> pour toute [[Fonctions d'une variable complexe|fonction <math>f</math> d'une variable complexe]] développable en [[série entière]] en <math>0</math>, avec un rayon de convergence strictement supérieur à la [[Espaces vectoriels normés/Limites et continuité#Continuité des applications linéaires|norme subordonnée]] de <math>A</math> (pour une norme arbitraire fixée sur <math>\Complex^n</math>).
 
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== Exercice 23-2 : densitéDensité de GL{{ind|''n''}}==
Soit <math>K=\R</math> ou <math>\Complex</math>. Démontrer que dans <math>\mathrm M_n(K)</math> (muni d'une norme arbitraire), le sous-ensemble <math>\mathrm{GL}_n(K)</math> des matrices inversibles est dense.
{{Solution|contenu=
}}
 
== Exercice 2-3 : quelques normes sur <math>\R^2</math>==
#Représenter graphiquement les boules unité de <math>\R^2</math> muni respectivement des normes
#:<math>\|(x,y)\|_1=|x|+|y|,\quad\|(x,y)\|_2=\sqrt{x^2+y^2}\quad\text{et}\quad\|(x,y)\|_\infty=\max(|x|,|y|)</math>.
#Montrer que ces normes sont équivalentes en explicitant les constantes associées.
#On considère l'application linéaire <math>u:(\R^2,\|\cdot\|_2)\to(\R^2,\|\cdot\|_2)</math> définie par <math>u(x,y)=(x+y,x-y)</math>. Calculer la norme d'opérateur <math>|\!|\!|u|\!|\!|</math> associée.
#Même question en remplaçant <math>\|\cdot\|_2</math> par les deux autres normes ci-dessus.
{{Solution|contenu=
#[[File:Vector norms2.svg|thumb|left|Les cercles unité (en gras) associés aux trois normes.]]{{clr}}
#La figure montre que <math>\|(x,y)\|_1\ge\|(x,y)\|_2\ge\|(x,y)\|_\infty</math>, avec égalités si <math>\{|x|,|y|\}=\{0,1\}</math>, et que <math>\|(x,y)\|_\infty\ge\frac12\|(x,y)\|_1</math>, avec égalité si <math>\{|x|,|y|\}=\{1,1\}</math>.<br>Il est très facile de redémontrer directement ces trois inégalités (et les cas d'égalité).<br>Pour la comparaison entre <math>\|\cdot\|_1</math> et <math>\|\cdot\|_\infty</math>, on a même trouvé les constantes optimales : <math>\|(x,y)\|_\infty\le\|(x,y)\|_1\le2\|(x,y)\|_\infty</math>. On les trouve de même pour les deux autres paires (en dilatant l'une des deux boules jusqu'à contenir l'autre) : <math>\|(x,y)\|_\infty\le\|(x,y)\|_2\le\sqrt2\|(x,y)\|_\infty</math> et <math>\|(x,y)\|_2\le\|(x,y)\|_1\le\sqrt2\|(x,y)\|_2</math>.<br>Plus généralement, sur <math>\R^n</math>, on a <math>1\le r\le p\le\infty\Rightarrow\|\cdot\|_p\le\|\cdot\|_r\le n^{\frac1r-\frac1p}\|\cdot\|_p</math>, la seconde inégalité se déduisant de l'[[Fonctions convexes/Applications de l'inégalité de Jensen#Application 3 : démonstration de l'inégalité de Hölder|inégalité de Hölder]].
#<math>u</math> est une [[similitude]] directe de rapport <math>\sqrt2</math> donc <math>|\!|\!|u|\!|\!|=\sqrt2</math>
#
#*Pour <math>\|\cdot\|_\infty</math>, <math>|\!|\!|u|\!|\!|=\max_{|x|,|y|\le1}\max(|x+y|,|x-y|)=\max_{0\le s,t\le1}(s+t)=2</math>.
#*Pour <math>\|\cdot\|_1</math>, <math>|\!|\!|u|\!|\!|=\max_{|x|+|y|\le1}(|x+y|+|x-y|)=\max_{0\le t\le s,\;s+t\le1}(s+t+s-t)=2</math>.
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== Exercice 2-4 : quelques normes sur les polynômes ==
#Montrer que les applications suivantes sont des normes sur l'espace <math>\R[X]</math> des polynômes réels :
#*<math>P\mapsto\|P\|_1=\int_0^1|P(t)|\;\mathrm dt</math> ;
#*<math>P\mapsto|P(0)|+\|P'\|_1</math> ;
#*<math>P\mapsto\|P\|_\infty=\sup\{|P(t)|\mid t\in[0,1]\}</math>.
#Soient <math>x_0,\dots,x_n</math>, <math>n+1</math> nombres réels distincts. Montrer que pour tout <math>p\in\left[1,+\infty\right]</math>, l'application suivante est une norme sur le sous-espace <math>\R_n[X]</math> des polynômes de degré au plus <math>n</math> :
#:<math>P\mapsto\|\left(P(x_0),\dots,P(x_n)\right)\|_p</math>, où <math>\|\cdot\|_p</math> est la norme <math>\ell^p</math> sur <math>\R^{n+1}</math>.
#Montrer que pour tout <math>n\in\N</math>, il existe une constante <math>C_n</math> (qu'on ne demande pas d'expliciter) telle que :
#:<math>\forall P\in\R_n[X]\quad\|P\|_\infty\le C_n\|P\|_1</math>.
#Est-ce encore vrai sur <math>\R[X]</math> ? (On pourra considérer la suite des polynômes <math>X^n</math>.)
{{Solution|contenu=
#
#*<math>\|\cdot\|_1</math> est même une norme sur l'espace des fonctions [[Intégration (mathématiques)|intégrables]] de <math>\left[0,1\right]</math> dans <math>\R</math>, dont <math>\R[X]</math> s'identifie à un sous-espace.
#*<math>P\mapsto|P(0)|+\|P'\|_1</math> est une semi-norme (c'est-à-dire qu'elle est positivement homogène et sous-additive) car les deux applications dont elle est la somme sont semi-normes. En effet, plus généralement, la composée d'une semi-norme et d'une application linéaire est une semi-norme. De plus, si <math>|P(0)|+\|P'\|_1=0</math> alors <math>P(0)=0</math> et <math>P'=0</math> donc <math>P=P(0)=0</math>.
#*<math>\|\cdot\|_\infty</math> est même une norme sur l'espace des fonctions bornées de <math>\left[0,1\right]</math> dans <math>\R</math>. En effet, c'est une semi-norme (comme sup d'une famille d'applications qui, par le principe général énoncé au point précédent, sont des semi-normes) et elle ne s'annule qu'en 0.
#C'est une semi-norme (toujours par le même principe général) et elle ne s'annule qu'en 0, car si <math>P\in\R_n[X]</math> a <math>n+1</math> racines distinctes alors <math>P=0</math>.
#Sur <math>\R_n[X]</math>, toutes les normes sont équivalentes.
#Non car <math>\|X^n\|_\infty=1</math> tandis que <math>\|X^n\|_1=\frac1{n+1}</math>.
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== Exercice 23-53 : extremaExtrema d'une fonction continue ==
Soit <math>f:\R^n\to\R</math> une application continue, admettant à l'infini une limite <math>L</math> (finie ou infinie) :
:<math>\lim_{\|x\|\to+\infty}f(x)=L\in\left[-\infty,+\infty\right]</math>.
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