« Cinématique (Expert)/Géométrie des systèmes mécaniques » : différence entre les versions

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Ligne 196 :
<math>\overrightarrow{D(C)} - \overrightarrow{D(A)} ]_{R_0} = \begin{bmatrix} cos\theta -1 & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta -1 \end{bmatrix} \bigotimes \begin{bmatrix} x_c-x_a \\ y_c-y_a \end{bmatrix}</math>
 
Supposons que le déplacement <math>\theta</math> soit un petit déplacement que nous noterons <math>\delta\theta</math> . En conséquence, nous avons deux petits déplacements <math>\overrightarrow{\delta A}</math> et <math>\overrightarrow{\delta BC}</math> :
 
<math>\overrightarrow{\delta C} - \overrightarrow{\delta A} = \begin{bmatrix} cos\delta\theta -1 & -sin\delta\theta \\ sin\delta\theta & cos\delta\theta -1 \end{bmatrix} \bigotimes \begin{bmatrix} x_c-x_a \\ y_c-y_a \end{bmatrix} </math>
 
En utilisant le développement limité: pour x autour de 0
 
<math>f(x)=f(0)+xf'(0)+ \frac{x^2}{2!} f''(0) + \frac{x^3}{3!} f'''(0) + ...</math>
 
En utilisant cette formule pour les fonctions sinus et cosinus, on obtient :
 
<math>sin x = x - \frac{x^3}{3!} \Longrightarrow sin \delta x = \delta x - \frac{\delta x^3}{3!} </math>
 
<math>cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} \Longrightarrow cos \delta x = 1 - \frac{\delta x^2}{2!} </math>
 
Si on approxime aux dérivées de <math>1^{er}</math> ordre, on retrouve donc :
 
<math>sin \delta \theta = \delta \theta \, </math>
 
<math>cos \delta \theta = 1 \, </math>
 
On a donc
<math>\overrightarrow{\delta C} - \overrightarrow{\delta A} = \begin{bmatrix} 0 & -\delta\theta \\ \delta\theta & 0 \end{bmatrix} \bigotimes \begin{bmatrix} x_c-x_a \\ y_c-y_a \end{bmatrix} </math>
 
 
==== Torseur des petits déplacements ====
 
Soit un vecteur <math>\vec V ~\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}</math>
On peut associé à ce vecteur <math>\vec V </math> une matrice : <math>\begin{bmatrix} 0 & -z & y \\ z & 0 & x \\ -y & x & 0 \end{bmatrix}</math>
 
Posons maintenant un vecteur de petite rotation : <math>\overrightarrow{\delta \theta_{(1/0)}} = \delta \theta \vec z</math> Sa matrice asspcièe est <math>\begin{bmatrix} 0 & -\delta\theta \\ \delta\theta & 0 \end{bmatrix}</math>
 
En utilisant les nouvelles notations, on peut ecrire :
 
<math>\overrightarrow{\delta C} - \overrightarrow{\delta A} = \overrightarrow{\delta \theta_{(1/0)}} \wedge \overrightarrow{AC}</math>
 
<math>\overrightarrow{\delta C} = \overrightarrow{\delta A} + \overrightarrow{AC} \wedge \overrightarrow{\delta \theta_{(1/0)}} </math>
 
Nous somme en prèsence d'un torseur de petit déplacement :
 
{{principe|contenu=<math>\begin{Bmatrix} \delta_{(1/0)} \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} \overrightarrow{\delta \theta_{(1/0)}} \\ \overrightarrow{\delta A_{(1/0)}} \end{Bmatrix}</math>}}<br/>
 
Pour appliquer les notions vues dans ce cours, je vous encourage vivement de vous entrainer sur les [[Cinématique_(Expert)/Exercice/Matrice_de_passage-Vecteur_Déplacement|exercices proposées]] .
 
 
 
[[Catégorie:Cinématique]]