« Cinématique (Expert)/Exercices/Matrice de passage, vecteur déplacement » : différence entre les versions
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|leçon=[[Cinématique (Expert)|Cinématique]]
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== Matrice de passage : angles d'euler ==
Soit un repère <math>\mathfrak{R}_3(O,\vec x_3,\vec y_3,\vec z_3)</math> à positionner par rapport à un repère <math>\mathfrak{R}_0(O,\vec x_0,\vec y_0,\vec z_0)</math>.
Nous définissions le vecteur nodal <math>\vec n</math> perpendiculaire au plan défini par les vecteurs <math>\vec z_0</math> et <math>\vec z_3</math>, d'où :<math>\vec n = \frac{\vec z_0 \land \vec z_3}{\| \vec z_0 \land \vec z_3\| }</math>
Une première rotation d'angle <math>\psi</math> (psi) mesuré positivement autour de <math>\vec z_0</math>, nommé précession, permet de passer du repère <math>\mathfrak{R}_0(O,\vec x_0,\vec y_0,\vec z_0)</math> au repère <math>\mathfrak{R}_1(O,\vec n,\vec v,\vec z_0)</math>.
Une rotation d'angle <math>\theta</math> (theta) mesuré positivement autour de <math>\vec n</math>, appelée nutation, permet de passer du repère <math>\mathfrak{R}_1(O,\vec n,\vec v,\vec z_0)</math> au repère <math>\mathfrak{R}_2(O,\vec n,\vec w,\vec z_3)</math>.
Enfin, une rotation d'angle <math>\varphi</math> (phi) mesuré positivement autour de <math>\vec z_3</math>, la rotation propre, permet d'atteindre le repère <math>\mathfrak{R}_3(O,\vec x_3,\vec y_3,\vec z_3)</math>
=== Activité 1 ===
Déterminer les matrices de passage de chaque rotation élémentaire.
=== Activité 2 ===
Déterminer la matrice de passage (générale).
=== Activité 3 ===
En utilisant les résultats obtenus au cours de l'activité 2, déterminer la matrice de inverse. <math>\mathbb{P}_{(3\rightarrow0)}</math> est-elle une matice rotation ?
== Déplacement d'un point d'un solide ==
On associe au solide 0 un repère. Le solide 0 est considéré comme solide de référence.
Un solide 3 muni d'un repère <math>\mathfrak{R}_3(O,\vec x_3,\vec y_3,\vec z_3)</math> se déplace dans l'espace par rapport au solide de référence.
A l'instant initial de l'étude <math>t_0</math>, les deux repères <math>\mathfrak{R_0}</math> et <math>\mathfrak{R_3}</math> sont coïncidents.
On considère un point A appartenant au solide 3 tel que :
<math>\overrightarrow{O_3A}=-2\vec i_3+7\vec j_3+10\vec k_3</math>
=== Activité 4 ===
Le solide se déplace d'une translation tel qu'à l'instant <math>t_1</math> : <math>\overrightarrow{OO_3}=10\vec i_0+5\vec j_0-2\vec k_0</math>
Il subit une rotation propre autour de l'axe <math>\vec z_0</math> caractérisée par <math>\varphi</math>. A l'instant <math>t_1\ \varphi=30^\circ</math>.
Déterminer le vecteur déplacement <math>\overrightarrow{D(A)}</math>.
=== Activité 5 ===
Nous observons un déplacement tel que qu'à l'instant <math>t_1</math> : <math>\overrightarrow{OO_3}=2\vec i_0-1\vec j_0+3\vec k_0</math>
Il subit trois rotations telles qu'à l'instant <math>t_1</math> : <math>\varphi = 45^\circ \qquad \theta = 60^\circ \qquad \psi = 30^\circ</math>
Déterminer le vecteur déplacement <math>\overrightarrow{D(A)}</math>.
[[Catégorie:Cinématique]]
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