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« Espaces vectoriels normés/Connexité » : différence entre les versions

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{{Chapitre
| idfaculté = mathématiques
| précédent = [[../Limites et continuité/]]
| suivant = [[../Espaces de Banach - Complétude/]]
| numéro = 3
| niveau = 15
}}
 
:Dans ce chapitre nous allons voir une notion centrale de la topologie : la connexité. Nous aborderons un cas partculier dans les e.v.n. : la convexité.
:Dans toute la suite, <math>E</math> désigne un e.v.n. et <math>A</math> est une partie de <math>E</math>
{{clr}}
 
== Connexité ==
Dans un premier temps, nous allons étudier la notion de connexité. De manière intuitive, <math>A</math> sera une partie connexe si elle est en un seul morceau. Nous n'allons pas rentrer trop loin dans cette notion, qui est délicate à manipuler au premier abord, l'objectif étant d'introduire la notion et de donner une démonstration plus conceptuelle du théorème des valeurs intermédiaires, ainsi qu'une généralisation.
=== Définition ===
Voyons tout d'abord la défnition d'une partie connexe :
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{{Proposition
|titre = Proposition : Union de partie connexe
|contenu =Soit <math>(A_i)_{i\in I}</math> une famille de partie connexes de <math>E</math>. Si <math>\underset{i\in I}{\cap}\neq \emptyset </math> alors <math>\underset{i\in I}{\cup}</math> est connexe.
|contenu =
Soit <math>(A_i)_{i\in I}</math> une famille de partie connexes de <math>E</math>. Si <math>\underset{i\in I}{\cap}A_i\neq \emptyset </math> alors <math>A=\underset{i\in I}{\cup}A_i</math> est connexe.
}}
{{Démonstration déroulante
| contenu =
:On va revenir à la définition d'une partie connexe. Soient <math>U,\ V</math> des ouverts disjoints de <math>A</math> qui recouvrent <math>A</math>.
:On pose alors : <math>\forall i \in I,\ V_i=A_i\cap V ,\ U_i=A_i\cap U</math>. Pour tous les <math>i\in I</math>, les ouverts <math>V_i,\ U_i</math> forment un recouvrement en deux ouverts disjoints de <math>A_i</math>, partie connexe par hypothèse, on a donc soit <math>V_i=\emptyset</math>, soit <math>U_i=\emptyset</math>.
:Supposons que <math>\underset{i\in I}{\cap}A_i</math> rencontre <math>U</math>, alors on a <math>\forall i\in I,\ U_i\neq \emptyset</math>, d'où <math>V_i=\emptyset</math>, et <math>V=\emptyset</math>.
:Si <math>\underset{i\in I}{\cap}A_i</math> rencontre <math>V</math>, alors le même raisonnement prouve que <math>U=\emptyset</math>.
:Ceci prouve la connexité de <math>A</math>.
}}
 
Avant de caractériser les connexes de <math>\R</math>, nous énonçons le résultat suivant qui peut paraître technique mais dont nous avons besoin pour la démonstration, et qui est souvent utile en pratique.
{{Proposition
|Soit <math>A</math> une partie de <math>E</math>, et <math>B</math> une partie de <math>E</math> qui vérifie <math>A\subset B\subset \bar{A}</math>. Alors <math>B</math> est connexe.
}}
 
{{Démonstration déroulante
| contenu =
:On va utliser le fait qu'une partie est connexe si et seulement si les seules parties à la fois ouvertes et fermées sont la partie elle même et l'ensemble vide.
:Soit <math>C</math> une partie non vide à la fois ouverte et fermée de <math>B</math>, montrons que <math>C=B</math>.
:Par définition des ouverts d'une partie, on peut écrire : <math>C=B\cap O=B\cap F</math> avec <math>O,\ F</math> des parties ouvertes et fermées de <math>E</math> respectivement.
:Posons <math>C'=C\cap A</math>. Alors, <math>C'=O\cap A =F\cap A</math> donc <math>C'</math> est à la fois ouvert et fermé dans <math>A</math> qui est connexe, donc <math>C'=A</math> ou <math>C'=\emptyset</math>
:Or, comme <math>C=O\cap B \subset O\cap \bar{A}</math> on a <math>O\cap \bar{A}\neq \emptyset</math>. Donc, par définition de l'adhérence tout ouvert contenant un point de <math>\bar{A}</math> est non vide, <math>C'</math> est non vide et donc <math>C'=A</math>.
:On en déduit que <math>A\subset C</math>. Et comme <math>C</math> est fermé dans <math>B</math> et <math>C\subset B</math>, on a <math>C=\bar{C}\cap B</math>, et comme <math>A\subset C \subset \bar{A}</math> on a <math>\bar{C}=\bar{A}</math> et finalement <math>C=\bar{A}\cap B =B</math>. Ce qui finit de montrer que <math>B</math> est connexe.
:Notez que ci-dessus <math>\bar{C}</math> désigne l'adhérence de <math>C</math> dans <math>E</math>. Cette remarque est fondamentale (ainsi que la preuve) si l'on veut bien comprendre la connexité ainsi que les raisonnements en topologie.
}}
 
Ligne 81 ⟶ 75 :
}}
 
;Remarque :
{{Démonstration déroulante
*Pour montrer qu'une partie est un intervalle il est possible de montrer qu'elle est connexe. Même si cela n'est pas forcément le plus courant, cela peut s'avérer utile.
| contenu =
=== Continuité et connexité ===
:Montrons tout d'abord qu'une partie connexe de <math>\R</math> est forcément un intervalle.
 
:Soit <math>A\subset \R</math> n'est pas un intervalle, il existe deux réels <math>x,\ y\in A</math> avec <math>x\neq y</math> tels que <math>]x;y[</math> ne soit pas inclus dans <math>A</math>.
{{Proposition
:Soit <math>t\in ]x;y[\backslash A</math>. Alors <math>A \subset]-\infty;t[\cup]t;+\infty[</math>, donc il existe un recouvrement de <math>A</math> en deux ouverts disjoints non vides, et <math>A</math> n'est pas connexe.
|titre= Proposition : Caractérisation de la connexité par les fonctions continues.
:Montrons maintenant qu'un intervalle est toujours connexe.
|contenu =
:Soit <math>A=]a;b[\subset \R</math> (<math>a</math> et <math>b</math> peuvent être plus ou moins l'infini). Soit <math>B\subset A</math> une partie ouverte et fermée non vide. Nous allons montrer que <math>B=A</math>.
:Soit <math>x\in BA</math>, est connexxe si et soitseulement si toute fonction continue <math>C=f\{y :\in A | y\geq x,\to [x,y]\subset B{0;1\}</math> est constante.
}}
:On a <math>C\neq \emptyset</math>, donc <math>\beta =\sup C</math> existe. Supposons <math>\beta < b</math>. <math>B</math> étant un fermé de <math>A</math>, on a <math>\beta \in B</math>. Comme <math>B</math> est un ouvert de <math>A</math> qui est ouvert, il existe <math>\epsilon >0</math> tel que <math>]\beta - \epsilon;\beta + \epsilon[\subset B</math>. Mais cela contredit la définition de <math>\beta</math> donc <math>\beta=b</math>. On montre de manière similaire que <math>]a;x[ \subset B</math> donc <math>A=B</math>, et <math>A</math> est connexe.
 
:Finalement, <math>A</math> est un intervalle fermé ou semi-ouvert, alors son intérieur est un intervalle ouvert, donc connexe. La proposition précédente permet alors de conclure que <math>A</math> est connexe.
{{Démonstration déroulante
|contenu =
#Supposons tout d'abord que <math>A</math> est connexe.
#:Soit <math>f\ :\ A\ \to \{0;1\}</math> une fonction continue. Alors, on a <math>A=f^{-1}(\{0\}) \cup f^{-1}(\{1\})</math> qui est une union de fermés (car <math>f</math> est continue et <math>\{0\},\ \{1\}</math> sont des fermés de <math>\{0;1\}</math>) manifestement disjoints.
#:Ainsi, <math>f</math> est constante car soit <math>f^{-1}(\{0\})=A</math> soit<math>f^{-1}(\{1\})=A</math>.
#Supposons maintenant que <math>A</math> ne soit pas connexe.
#:On sait alors qu'il existe deux fermés non vides <math>F,\ G</math> de <math>A</math> tels que <math>A=F\cup G</math>, et <math>F\cap G = \emptyset</math>.
#:On peut alors définir une fonction :
#:<math>\begin{array}{ccccc}
f & : & E & \to & F \\
& & x & \mapsto & \begin{cases}
0 &\text{si } x \in F\\
1 &\text{si } x\in G
\end{cases}
\end{array}</math>
#:On vérifie alors que la fonction <math> f</math> est continue car les images réciproques des fermés de <math>\{0;1\}</math> (<math>\emptyset,\ \{0\},\ \{1\},\ \{0;1\}</math> sont des fermés de <math>A</math> (<math>\emptyset,\ F,\ G,\ A</math>). Or, <math>f</math> n'est pas constante, ce qui termine la preuve.
}}
 
;Remarque :
*On voit encore apparaître le fait que si <math>A</math> est composée d'une union disjointe d'ouverts, on va pouvoir définir des fonctions dans <math>\{0;1\}</math> qui prennent des valeurs différentes sur chaque ouvert, et qui seront continue.
*Pour montrer qu'une partie est un intervalle il est possible de montrer qu'elle est connexe. Même si cela n'est pas forcément le plus courant, cela peut s'avérer utile.
 
*A l'aide de la notion de connexité par arcs, on peut donner une démonstration plus simple de ce résultat, mais moins fondamentale.
== Connexité par arcs ==
=== Définition ===
{{Définition
| titre = Définition : Arc, connexité par arcs.
| contenu =
:* On appelle arc à valeurs dans <math> A</math> une application continue de <math>[0,1]</math> dans <math>A</math>.
:* On dit que <math>A</math> est connexe par arcs si pour tous points <math>x,y \in A</math>, il existe un arc <math>\gamma</math> à valeurs dans <math>A</math> tel que <math>\gamma(0)=x</math> et <math>\gamma(1)=y</math>.
}}
 
;Remarque :
*Concernant les arcs, il est important de distinguer d'une part l'arc qui est une application, et d'autre part son image qui est une partie de l'espace. De nombreux auteurs font l'abus de notation de noter encore <math>\gamma</math> l'image de l'arc, en particulier lorsque l'on aborde l'analyse complexe.
 
{{Propriété
| contenu =
Si <math>A</math> est connexe par arcs alors <math>A</math> est connexe.
}}
 
== Convexité ==
Les notions de connexité et de connexité par arcs dépassent largement le cadre des e.v.n., cependant la structure algébrique d'espace vectoriel va nous permettre d'introduire une autre notion peut-être plus simple pour le lecteur débutant : la convexité.
Géométriquement, <math>A</math> est convexe si tous les segments que l'on peut constituer à partir de point de <math>A</math> sont inclus dans <math>A</math>. Les intérets des parties convexes sont multiples que ce soit en géométrie ou en optimisation par exemple, mais dans notre cadre elle nous servirons à démontrer que des parties sont connexes/connexes par arcs.<br \>
Concrètement l'idée ci-dessus se traduit dans la définition suivante :
 
{{Définition
| titre = Définition : Segment, convexité.
| contenu =
:* On appelle segment entre <math>x,y \in E</math> l'ensemble <math>[x,y]=\{tx+(1-t)y\ |\ t\in [0,1]\}</math>.
:* On dit que <math>A</math> est convexe si pour tous points <math>x,y \in A</math>, le segment <math>[x,y]\subset A</math>.
}}
 
;Remarque :
*Dans <math>\R^2</math>, le lecteur peut vérifier que la définition donnée pour les segments correspond à un paramétrisation du segment naturelle.
*Tout e.v.n. est convexe.
 
La propriété suivante nous fournit d'autres exemples de parties convexes :
{{Propriété
|contenu =
* Toute boule ouverte ou fermée est convexe.
* Une intersection de partie convexe est convexe.
}}
 
{{Démonstration déroulante
| contenu=
:Montrons la première affirmation pour des boules ouvertes, le raisonnement est identique pour les boules fermées.
:Soit <math>B(a,R)</math> une boule ouverte, et <math>x,y \in B(a,R)</math>.
:En utilisant les propriétés des normes et des boules, on a : <math>\|tx+(1-t)y-a\| = \|t(x-a)+(1-t)(y-a)\|\leq t\|x-a\|+(1-t)\|y-a\|\leq R</math>.
:La seconde partie de la propriété est évidente.
}}
 
La proposition suivante est quasimment immédiate à partir de la définition, la démonstration ne figurant qu'à titre d'exemple.
Cependant, le résultat est très important pour démontrer qu'un espace est connexe par arcs, en effet la convexité est souvent plus facile à démontrer et à visualiser géométriquement quand on a l'habitude de ces notions. ELle constitue également notre principale application de la connexité ici.
 
{{Propriété
|contenu =
Si <math>A</math> est convexe alors <math>A</math> est connexe par arcs (et donc connexe).
}}
 
{{Démonstration déroulante
|contenu =
:Soit <math>x,y \in A</math>.
:Prendre pour arc <math>\begin{align}\gamma\ :\ &[0,1] &\to &\ \ A & \\& t &\mapsto & x+(1-t)y& \end{align}</math> qui est bien un arc de <math>A</math> par définition de la convexité.
}}
 
Ce résultat nous permet de démontrer ainsi que tout e.v.n. est connexe, ce qui justifie la première remarque de ce chapitre.
 
{{Bas de page
| idfaculté = mathématiques
| précédent = [[../Limites et continuité/]]
| suivant = [[../Espaces de Banach - Complétude/]]
}}
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