« Espaces vectoriels normés/Connexité » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
→Définition : Ajout de démonstrations |
→Continuité et connexité : Ajout d'un théorème avec sa démonstration. |
||
Ligne 112 :
=== Continuité et connexité ===
Commençons cette partie par une nouvelle caractérisation de la connexité à l'aide des fonctions continues.
{{Proposition
Ligne 118 ⟶ 119 :
<math>A</math> est connexe si et seulement si toute fonction continue <math>f\ :\ A\ \to \{0;1\}</math> est constante.
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu =
Ligne 139 :
;Remarque :
*On voit encore apparaître le fait que si <math>A</math> est composée d'une union disjointe d'ouverts, on va pouvoir définir des fonctions dans <math>\{0;1\}</math> qui prennent des valeurs différentes sur chaque ouvert, et qui seront continue.
Etudions maintenant la propriété fondamentale reliant la connexité et la continuité. Le théorème suivant est l'un des premiers résultats montrant l'intérêt de la connexité : il nous dit que l'image d'une partie connexe par une application continue est connexe. Ceci permet de montrer assez facilement que certaines parties sont connexes. Il va également nous permettre d'obtenir sans efforts le théorème des valeurs intermédiaire.
{{Théorème
|contenu =
:Soient <math>A</math> une partie connexe de <math>E</math>, et <math>f\ :\ E \to \ F</math> une application continue.
:Alors, <math>f(A)</math> est une partie connexe de <math>F</math>.
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu =
:Soit <math>U\cup V</math> un recouvrement en deux ouverts disjoints de <math>f(A)</math>. La continuité de <math>f</math> implique immédiatemment que <math>f^{-1}(U)\cup f^{-1}(V)</math> est un recouvrement en deux ouverts dijoints de <math>A</math> qui est connexe.
:On a donc l'un des deux ouverts qui est vide. Si par exemple <math>f^{-1}(U)=\emptyset </math>, alors <math>U=f(f^{-1}(U))=\emptyset</math>.
:Ce qui prouve la connexité de <math>f(A)</math>.
}}
Pour insister qu'il s'agit d'un résultat de topologie utilisant la connexité rappelons le théorème des valeurs intermédiaire. La preuve est immédiate à partir du théorème précédent si l'on se souvient que les connexes de <math>\R</math> sont les intervalles.
{{Corollaire
| titre = Corollaire : Théorème des valeurs intermédiaires.
|contenu =
:Soit <math>f\ :\ [a;b]\subset \R \to \R</math> une fonction continue.
:Alors, <math>f([a;b])</math> est un intervalle de <math>\R</math>, en particulier si <math>\alpha,\ \beta</math> sont dans <math>f([a;b])</math> alors tout <math>c \in [\alpha;\beta]</math> est dans <math>f([a;b])</math>.
}}
== Connexité par arcs ==
=== Définition ===
| |||