« Fondements des mathématiques/Les expressions formelles, les ensembles et les fonctions » : différence entre les versions
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== Qu’est-ce qu’un ensemble ? ==
Pour faire un ensemble il suffit d’avoir des objets et de donner un critère d’appartenance à l’ensemble que l’on définit. Le critère d’appartenance est en général un prédicat unaire, c’est
Un même ensemble peut être défini et nommé de plusieurs façons. Comment sait-on qu’il s’agit toujours du même ensemble ? Il suffit de montrer qu’il y a toujours les mêmes éléments. Plus précisément, deux ensembles E et F sont égaux lorsque tout élément de E est élément de F et réciproquement. C’est l’axiome d’extensionalité.
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Ce nom vient de la distinction entre la signification et l’extension d’un concept, ou prédicat. Par exemple “être humain” et “être humain avec ADN” sont deux prédicats qui ont la même extension, parce que tous les êtres humains ont de l’ADN, mais ils n’ont pas la même signification, parce que quelqu’un qui ne connait pas la biologie moléculaire ne sait pas qu’un être humain est toujours un être humain avec ADN.
L’extension d’un prédicat, c’est l’ensemble de tous les êtres pour lesquels ce prédicat est vrai. L’axiome d’extensionnalité ne fait qu’énoncer la propriété essentielle des extensions, c’est
== Les ensembles indicibles ==
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