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On vérifie que 1-hypercomplexe se projette sur les axes réels et imaginaires sur [— 1 , + 1] de milieu 0, ni-réel, ni-imaginaire ou non-(ni-réel , ni-imaginaire) = soit-imaginaire , soit-réel.
=== Structure globale élémentaire ===
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D'une manière générale, '''l'image d'un n-hypercomplexe réel est un n-hypercomplexe complexe'''.
Nous pouvons exprimer nos points cardinaux par :<br><br>
<center>''{k + exp(ik'π)} , k ∈ {−1 , +1}, k' ∈ {−1 , +1}''</center><br>
Ceci suggère une norme de l'axe imaginaire fondée sur π, pour laquelle on aurait 1 ⇔ 2π. On vérifie aisément que (0 , 2π) est un 1-hypercomplexe de milieu imaginaire π qui peut être contradictoirement observé et donc étudié comme un 2-hypercomplexe. On peut définir un ''continuum géométrique'' entre 0 et 2π, que nous appellerons arbitrairement [[w:Spin|spin]], et que nous traduirons par une <u>orientation variable</u> dans le temps d'un objet mobile. La mobilité 1 correspond alors à une « rotation » complète pour la distance donnée. L'intervalle τ(β) — τ(α) s'exprime alors en « nombre de tours ».
La partie réelle d'un objet mobile se projette sur [—1 , +1] et sa partie imaginaire sur [—π , +π]. On définit une bijection entre ces deux parties (correspondance entre angle et distance) qui singularise et identifie un ''[[w:État_quantique|état quantique]]'' qui pourra être ''habillé'' par observation.<br><br>
<center>''∀λ = ni-α ; ni-ω, ∃λ<sub>R</sub> = ni-—1 , ni-+1 ∧ λ<sub>I</sub> = ni-—π , ni-+π : λ = λ<sub>R</sub> + λ<sub>I</sub>''</center><br>
Et donc :<br><br>
<center>{{Encadre|contenu=''λ ∈ (<math>E</math>, ¬, ξ) ⇔ λ ∈ {k + exp(ik'π)} , k ∈ {−1 , +1}, k' ∈ {−1 , +1}''}}</center><br>
On vérifie que ces 4 objets sont ''supersymétriques'', sont deux à deux contradictoires (donc distincts) et sont conformes à la loi inverse (4 * ¼ = 1). Nous les désignerons par '''structure complète basique hypercomplexe'''. Nous noterons qu'elle correspond à un « découpage » en 4 du 1-hypercomplexe conformément à notre supposition. Cette structure est, bien sûr, complétable par intégration d'objets singularisés et identifiés (théoriquement une infinité dénombrable par n-fractionnement). À titre d'idée, nous pourrons traduire l'intervalle entre deux points parcourus par un cycliste en mètres, en temps (suivant rapidité), ou en nombre de tours de roues (en posant 0 = concordance de la valve de roue avec le sol). La valve représente l'objet mobile complexe.
=== Quantique ? ... ou continu ? ===
== Mobilité générale ==
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