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=== Directions hypercomplexes ===
Si nous considérons les couples complexes cs-connectés (λ<sub>i</sub> , λ<sub>j</sub>), i ≠ j, nous singularisons 4 DA. Ces 4 DA sont confondues dans le cas de couples de consistance inférieure à 1. Nous les identifierons donc comme distinctes les unes des autres et susceptibles d'une cs-connexion dans l'ensemble indénombrable des droites du plan. Elles seront ainsi observables à partir d'une certaine consistance (l'épaisseur du trait par exemple) ou d'un certain ''zoom fois p''. Nous allons les ''habiller'' pour définir une
Pour expliciter ce travail, nous définirons un objet mobile (par exemple la pointe d'un stylo) qui reliera les deux horizons λ<sub>i</sub> et λ<sub>j</sub>, qu'il nous faudra « atteindre », mais non « dépasser » pour ne pas risquer de nous trouver « hors horizon » et générer un ε non contrôlable. Nous partons de λ<sub>1</sub>, point non mobile fixe de notre contexte sur lequel (à la consistance près) nous « marquons » notre GSP. Nous décidons d'aller vers λ<sub>2</sub>. Sans impulsion dynamique nous restons statique. Choisissons une ''rapidité'' ρ ∈ {—1 , 0 , +1}. Naturellement ρ = +1 pour mettre en évidence un APRÈS. Dès lors, v = 1, nous ouvrons un espace-temps pour lequel distance = temps et nous déclenchons un « chronomètre » qui mesurera le temps par un dispositif circulaire quelconque (tour). Nous observons que nous franchissons l'axe imaginaire au niveau 1 = 2π. Nous voyageons vers notre point d'arrivée, à proximité duquel il faudra réduire la rapidité d'un cran pour que notre mobilité soit nulle : ρ = +1 + —1 = 0. Mission accomplie. Connexion établie. L'écart est n-hypercomplexe à ξ près. Analysons le résultat :<br><br>
<center>''∀x, x = (ni-λ<sub>1</sub> ;ni-λ<sub>2</sub>), x ENTRE λ<sub>1</sub> et λ<sub>2</sub> : t(x) = cste<br>d(λ<sub>2</sub> — λ<sub>1</sub>) représente la <u>distance spatiale</u> parcourue par x (postulat d'Euclide)''</center><br>
Il en sera de même pour un trajet entre λ<sub>3</sub> et λ<sub>4</sub>.
La cs-connexion ouvre donc une '''direction spatiale''' S à double sens de « longueur 2ξ » (un ξ AVANT et un ξ APRÈS l'origine).
En reprenant l'expérience entre λ<sub>2</sub> et λ<sub>3</sub> (puis λ<sub>4</sub> et λ<sub>1</sub>), nous ouvrons une '''direction temporelle''' T à double sens de « longueur 2ξ ».
Dans la '''direction spatio-temporelle''' Δ, les mobiles évoluent simultanément de λ<sub>1</sub> vers λ<sub>3</sub> et de λ<sub>3</sub> vers λ<sub>1</sub> sur un trajet « objectif » de « longueur » 4π = 2ξ.
La « quatrième dimension » est celle portée par les trajets λ<sub>2</sub> vers λ<sub>4</sub> (puis λ<sub>4</sub> vers λ<sub>2</sub>). Cette direction Δ<sub>s</sub> est <u>orthogonale</u> à Δ par configuration géométrique unitaire. Elle représente le trajet « subjectif » du mobile de « durée » 4π = 2ξ.
La configuration géométrique idéale de la mobilité entre deux horizons fixes est donc celle d'un « carré parfait » de centre Ω (origine), muni de ses deux diagonales. Le « déplacement » cs-connecté (intelligent, δ = 0) s'exprime par un système de « coordonnées », quadruplet [λ<sub>1</sub> = 2kπ , λ<sub>2</sub> = 2k , λ<sub>3</sub> = i2k , λ<sub>4</sub> = i2kπ].
On vérifie que ces coordonnées se projettent globalement en un 2-hypercomplexe, de ''milieu'' réel 0, comprenant une partie AVANT l'origine 1-hypercomplexe et une partie symétrique APRÈS 1-hypercomplexe de milieu imaginaire vérifiant la structure géométrique élémentaire hypercomplexe, même à l'''instant'' origine.
== Conclusion ==
Nous désignerons par Σ la signature d'une connexion intelligente dans un espace-temps. L'image de Σ dans une géométrie hypercomplexe est un « carré parfait » de côté n, de centre Ω, muni de deux repères d'axes orthogonaux réels et imaginaires, corrélés objectivement et subjectivement par un système de coordonnées hypercomplexes : <br><br>
<center>''∀χ ∈ (<math>E</math>, ¬, (α , ω), ξ), (α , ←χ→ , ω) : χ ∈ (ℂ , Δ , {λ<sub>i</sub>} , i ∈ {1 , 2 , 3 , 4}, ξ) ∧ Σ(λ<sub>i</sub>) = 0''</center><br>
Nous notons que l'identification d'un couple (α , ω) dans <math>E</math> définit une géométrie hypercomplexe peuplée d'éléments dénombrables (complète et complétable), tandis que son absence (ou sa non-précision) définit un espace vectoriel hypercomplexe peuplé d'éléments indénombrables (incomplet et non-complétable). Le couple identifié (α , ω) est un élément fondateur géométrique, y compris le cas particulier α = ω qui serait un 0-hypercomplexe de consistance inférieure à 1 ou un 1-hypercomplexe de consistance 0 (un point par exemple, ou <math>\sqrt[]{2}</math>). D'une manière générale, toutes les figures géométriques identifiées sont hypercomplexifiables et tous les [[w:Nombre_constructible|nombres constructibles]] également : ce sont bien sûr des aboutissements de l'intelligence naturelle que l'on peut observer.
== Mobilité générale ==
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