« Axiomes des théories des ensembles/Les ensembles finitaires » : différence entre les versions

La théorie des nombres entiers peut être considérée comme une source des vérités mais par certains aspects on peut la trouve trop réduite pour la choisir comme base. On voudrait plutôt une théorie des ensembles qui permette de définir davantage d’ensembles bien définis, au sens suivant.

 

Le théorème de l’incomplétude ontologique interdit d’espérer une théorie complète mais on peut quand même vouloir une théorie de la plupart des ensembles bien définis par des méthodes élémentaires.

La production des vérités arithmétiques à partir d’une formule initiale avec un nombre fini de règles est un cas particulier d’une méthode générale. On dira qu’un ensemble de vérités atomiques est énumérable s’il peut être produit à partir d’un nombre fini de formules initiales avec un nombre fini de règles de production. Cette définition de l’énumérabilité est équivalente à celle de Turing. Nous présenterons une approche formelle qui le montrera plus précisément et qui prouvera les théorèmes fondamentaux de l’énumérabilité et de l’indécidabilité. L’ensemble de toutes les vérités atomiques d’appartenance à tous les ensembles énumérables est énumérable. Il suffit d’un nombre fini de formules initiales et de règles pour produire toutes ces vérités. Ces formules et ces règles seront données dans la section suivante.

 

 

Le principe de Saint Thomas, je crois ce que je vois, peut être appliqué aux ensembles de base que sont les ensembles énumérables. Comme les éléments de ces ensembles sont toujours des formules on peut les montrer. Dire la vérité sur une formule n’est alors pas très difficile. La formule aba commence par la lettre a, elle contient b mais pas c, elle est symétrique, ... Ces évidences semblent peut être peu intéressantes mais elles méritent cependant un peu d’attention parce qu’elles suffisent comme source de beaucoup de vérités mathématiques. A partir de vérités aussi simples et évidentes que les précédentes on peut déduire des théorèmes très remarquables, pas du tout évidents, et qui nous apprennent beaucoup sur la nature de la raison.

 

== Qu’est-ce qu’un ensemble finitaire ? ==

 

 

Un ensemble est finitaire s’il peut être défini en un nombre fini d’étapes finitaires à partir des objets de base de la théorie. Une étape est finitaire si elle respecte une règle finitaire. Une définition du concept “finitaire” requiert donc une liste des règles finitaires. On exige de ces règles qu’elles ne permettent de construire que des ensembles bien définis.

En tant que théorie Enum est évidemment cohérente. Puisqu’elle ne contient pas de négations, elle ne peut pas contenir de contradictions. Puisqu’elle est un ensemble de formules atomiques, on peut la considérer comme un modèle d’elle-même. Mais cela ne suffit pas pour prouver que Enum est vraie en tant que théorie des ensembles. Si ses formules initiales ou ses règles étaient mal choisies, elle ne cesserait pas d’être cohérente, mais ses formules ne pourraient plus être interprétées comme des vérités sur les ensembles. Comment être sûr que ses formules initiales et ses règles ont été bien choisies ? Comment le prouver ?

 

 

Dès qu’on a compris ces notions, la vérité des formules initiales de Enum est évidente. Il en va de même pour la vérité des règles de production. Il suffit de s’assurer que dans tous les cas, si les prémisses sont vraies, la conclusion l’est aussi. Cela suffit pour prouver que Enum est valide, qu’elle ne contient que des vérités. La section suivante prouvera qu’il y a un sens à dire qu’elle est complète, qu’elle contient toutes les règles, en nombre fini, dont on a besoin pour dire des vérités sur les ensembles infinis.

 

=== L’ontologie de Finitaire1 ===

 

Les trois objets de base de Finitaire1 sont ceux de Enum, o, X et Z.