« Champ magnétique, magnétostatique/Dipôle magnétique » : différence entre les versions
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Ligne 18 :
== Champ créé par un dipôle magnétique ==
{{principe|titre=Dispositif|contenu=
[[Image:Magnetic dipole ring.svg]]
On dispose d'une spire circulaire de centre ''O'', de rayon ''R'', d'axe ''(Ox)'', parcourue par un courant i.
}}
*On veut calculer le champ magnétique créé en un point M à grande distance de la spire :
<math>\mathrm d \vec l = \mathrm d \overrightarrow{OP} = -R \sin(\varphi) ~\mathrm d\varphi~ \vec u_y + R \cos(\varphi)~ \mathrm d \varphi ~\vec u_z</math>▼
**<math>r>>R~</math>
*Soit ''P'' un point courant de la spire, repéré par l'angle <math>\varphi</math> entre <math>\vec u_y</math> et <math>\overrightarrow{OP}</math>. Le champ magnétique créé en M par un élément <math>\mathrm d \vec l</math> de spire placé en P vaut <math>\mathrm d\vec B(M) = \frac{\mu_0 i}{4 \pi} \frac{\mathrm d \vec l \wedge \overrightarrow{PM}}{PM^3}</math>
▲<math>\overrightarrow{PM} = ~
▲*<math>\mathrm d \vec l = \mathrm d \overrightarrow{OP} =
\begin{array}{|l}
0\\
-R \sin(\varphi)\\
R \cos(\varphi)\\
\end{array}
</math>
*<math>\overrightarrow{PM} =\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OP}=~
\begin{array}{|l}
r \cos(\theta)\\
r \sin(\theta)-R \cos(\varphi
\end{array}</math>
*<math>PM^3=||\overrightarrow{PM}||^3=(R^2+r^2-2rR\sin(\theta) \cos(\theta))^{\frac32}</math> donc <math>\frac1{PM^3}=\frac1{r^3} \left ( 1 -2\frac Rr \sin(\theta) \cos(\varphi) + \frac{R^2}{r^2} \right )^{-\frac32}</math>
*On calcule le produit vectoriel :
<math>\mathrm d \vec l \wedge \overrightarrow{PM} = \mathrm d \varphi~
\begin{array}{|l}
Ligne 42 ⟶ 57 :
\end{array}</math>
*On reprend l'expression de <math>\mathrm d \vec B(M)</math> :
<math>\vec B(M)=\frac{\mu_0 I}{4 \pi r^3} \pi R^2~▼
<math>
\begin{align}
\mathrm d \vec B(M) &= \frac{\mu_0 i ~\mathrm d \varphi}{4 \pi r^3} \left ( 1 +3\frac Rr \sin(\theta) \cos(\varphi) \right )~
\begin{array}{|l}
R^2 \sin^2(\varphi) + R^2 \cos^2(\varphi) - rR \cos(\varphi) \sin(\theta)\\
rR \cos(\theta) \cos(\varphi)\\
rR \cos(\theta) \sin(\varphi)\\
\end{array}\\
&=
\frac{\mu_0 i ~\mathrm d \varphi}{4 \pi r^3}~
\begin{array}{|l}
(R^2 \sin^2(\varphi) + R^2 \cos^2(\varphi) - rR \cos(\varphi) \sin(\theta)) \left ( 1 +3\frac Rr \sin(\theta) \cos(\varphi) \right )\\
rR \cos(\theta) \cos(\varphi) +3R^2 \sin(\theta) \cos(\varphi) \cos(\theta) \cos(\varphi)\\
rR \cos(\theta) \sin(\varphi) +3R^2 \sin(\theta) \cos(\varphi) \cos(\theta) \sin(\varphi)\\
\end{array}
\end{align}
</math>
\begin{array}{|l}
2-3 \sin^2(\theta)\\
| |||