« Champ magnétique, magnétostatique/Dipôle magnétique » : différence entre les versions

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Fin du calcul dipolaire
Ligne 70 :
\frac{\mu_0 i ~\mathrm d \varphi}{4 \pi r^3}~
\begin{array}{|l}
(R^2 \sin^2(\varphi) + R^2 \cos^2(\varphi) - rR \cos(\varphi) \sin(\theta)) \left ( 1 +3\frac Rr \sin(\theta) \cos(\varphi) \right )\\
rR \cos(\theta) \cos(\varphi) +3R^2 \sin(\theta) \cos(\varphi) \cos(\theta) \cos^2(\varphi)\\
rR \cos(\theta) \sin(\varphi) +3R^2 \sin(\theta) \cos(\varphitheta) \cos(\thetavarphi) \sin(\varphi)\\
\end{array}
\end{align}
</math>
 
*Il est maintenant grand temps d'intégrer cette expression pour <math>\varphi</math> variant entre 0 et <math>2 \pi</math>. Sachant que :
<math>\vec B(M)=\frac{\mu_0 i}{4 \pi r^3} \pi R^2~
**<math>\int_0^{2\pi} \cos(\varphi)~ \mathrm d\varphi = \int_0^{2\pi} \sin(\varphi)~ \mathrm d\varphi = 0</math>
**<math>\int_0^{2\pi} \cos(\varphi) \sin(\varphi)~ \mathrm d\varphi = 0</math>
**<math>\int_0^{2\pi} \sin^2(\varphi)~ \mathrm d\varphi = \int_0^{2\pi} \cos^2(\varphi)~ \mathrm d\varphi = \pi</math>
 
 
<math>
\begin{align}
<math>\vec B(M)&=\frac{\mu_0 i}{4 \pi r^3} \pi R^2~
\begin{array}{|l}
2\pi R^2 - 3 \pi R^2 \sin^2(\theta)\\
3 \frac32pi R^2 \sin(2\theta) \cos(\theta)\\
0\\
\end{array}\\
&=\frac{\mu_0 i}{4 \pi r^3} \pi R^2~
\begin{array}{|l}
2 - 3 \sin^2(\theta)\\
3 \sin(\theta) \cos(\theta)\\
0\\
\end{array}\\
&=\frac{\mu_0 \mathfrak m}{4 \pi r^3}~
\begin{array}{|l}
3 \cos^2(\theta)-1\\
3 \sin(\theta) \cos(\theta)\\
0\\
\end{array}\\
\end{align}
</math>
 
{{théorème|titre=Champ magnétique dipolaire|contenu=Dans un repère polaire, le champ magnétique dipolaire créé par une boucle de courant de moment magnétique <math>\mathfrak m</math> vaut
<math>\vec B(M)=\frac{\mu_0 \mathfrak m}{4\pi r^3} (2\cos(\theta) \vec u_r + \sin(\theta) \vec u_\theta)</math>}}
 
[[Catégorie:Champ magnétique, Magnétostatique]]