« Équation du troisième degré/Exercices/Résolution par la méthode de Cardan » : différence entre les versions

#<math>z^3+pz+q=0\Leftrightarrow(y^2-k)^3+p(y^2-k)y^2+qy^3=0\Leftrightarrow y^6+(p-3k)y^4+qy^3+(3k^2-pk)y^2-k^3=0</math>.

#<math>k=\frac p3,\;r=q,\;s=-k^3=-\frac{p^3}{27}</math>. On pose <math>w=y^3</math> et l'on résout donc <math>w^2+rw+s=0</math>. Soit <math>\delta</math> l'une des deux racines carrées de <math>r^2-4s=q^2+4\frac{p^3}{27}</math>. Les 2 solutions de l'équation en <math>w</math> sont : <math>w_0=\frac{-q+\delta}2,\;w_1=\frac{-q-\delta}2</math>. Les 6 solutions de l'équation en <math>y</math> sont donc <math>\mathrm j^lu_k</math> pour <math>k\in\{0,1\}</math> et <math>l\in\{0,1,2\}</math>, où <math>u_0</math> est l'une des trois racines cubiques de <math>w_0</math>, et <math>u_1=-\frac p{3u_0}</math> (racine cubique de <math>w_1=-\frac{p^3}{27w_0}</math>).

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