« Espaces vectoriels normés/Connexité » : différence entre les versions
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== Connexité par arcs ==
Nous allons maintenant nous intéresser à une notion un peu plus forte : la connexité par arcs. On introduit pour cela la notion d'arc qui est une courbe reliant deux points pour faire simple. Une partie est alors connexe par arcs si, étant donné deux points dans cette partie, on peut trouver une courbe reliant ces deux points sans sortir de cette partie. Cette propriété est souvent plus simple à démontrer que la connexité,
{{Définition
| titre = Définition : Arc, connexité par arcs.
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*Concernant les arcs, il est important de distinguer d'une part l'arc qui est une application, et d'autre part son image qui est une partie de l'espace. De nombreux auteurs font l'abus de notation de noter encore <math>\gamma</math> l'image de l'arc, en particulier lorsque l'on aborde l'analyse complexe.
Voyons maintenant la propriété fondamentale des espaces connexes par arcs qui fait leur intérêt dans ce cours.
{{Propriété
| contenu =
Si <math>A</math> est connexe par arcs alors <math>A</math> est connexe.
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu =
:On va utiliser ici la caractérisation de la connexité à l'aide des fonctions continues.
:Soit <math>f\ :\ E\ \to \ \{0;1\}</math> une application continue, et <math>x\in E</math>.
:Pour tout <math>y \in E</math>, soit <math>\gamma_y</math> un arc joignant <math> x</math>et <math> y</math>.
:Ainsi, la composition <math>f \circ \gamma_y</math> est une application continue de <math>[0;1]</math> dans <math>{0;1}</math>.Par la connexité de <math>[0;1]</math> on sait que la fonction <math>f \circ \gamma_y</math> est constante, et donc que <math>f(y)=f(x)</math>.
:Le résultat étant vrai pour tout <math>y\in E</math>, on obtient que <math>f</math> est constante, et donc que <math>E</math> est connexe.
}}
;Remarque :
Nous insistons sur ce point mais la réciproque de cette propriété est fausse : il existe des espaces connexes non connexes par arcs, nous en verrons un exemple en exercice. Ceci étant dit, la grande majorité des exemples de parties connexes que nous aurons à traiter seront connexes par arcs, mais cela ne doit pas faire oublier la différence entre les deux notions.
== Convexité ==
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