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NousDans verronsce égalementchapitre, nous verrons comment les choses se simplifient dans le cas où les espaces vectoriels considérés sont de dimension finie. En particulier, nous verrons que :
Dans ce chapitre, nous allons étudier une nouvelle notion topologique : la compacité. Intuitivement, un espace sera dit compact s'il se comporte comme un ensemble fini, notamment dans le comportement des fonctions définies sur cet espace. Par exemple, une fonction continue sur un compact sera bornée et atteindra ses bornes. Cela les rend fondamentaux en analyse car ils permettent souvent de simplifier des raisonnements.
 
Nous verrons également comment les choses se simplifient dans le cas où les espaces considérés sont de dimension finie. En particulier, nous verrons que :
*les compacts d'un espace vectoriel de dimension finie sont simples à caractériser ;
*les applications linéaires entre espaces vectoriels de dimension finie sont automatiquement continues.
 
Finalement, nous verrons le théorème de Riesz qui relie des informations de nature topologique (la compacité de la boule unité fermée) avec des informations algébriques (le fait d'être de dimension finie).
 
{{clr}}
 
== Compacité : première approche ==
 
 
 
== Espaces vectoriels normés de dimension finie ==
{{Wikipédia|Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie}}
 
===Premiers résultats ===
== =Compacité :et premièredimension approchefinie == =
{{Proposition
| contenu={{Wikipédia|Théorème de Borel-Lebesgue}}
Une partie d'un espace vectoriel normé réel de dimension finie est compacte si (et seulement si) elle est fermée et bornée.
}}
Réciproquement :
{{Théorème
| titre = Théorème de Riesz
| contenu ={{Wikipédia|Lemme de Riesz#Théorème de Riesz|Théorème de Riesz}}
Un espace vectoriel normé réel est de dimension finie si (et seulement si) sa boule unité fermée est compacte.
}}
 
{{Proposition
| contenu =
Soit <math>E</math> un espace vectoriel de dimension finie sur <math>\R</math>. Toutes les normes sur <math>E</math> sont équivalentes.
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu =
:Nous allons tout d'abord démontrer le résultat pour <math>E=\R^n</math>, en montrant que toutes les normes sur <math>\R^n</math> sont équivalentes à la norme infinie.
:Soit <math>N</math> une norme sur <math>\R^n</math>. Notons <math>(e_i)_{1\leq i\leq n}</math> la base canonique de <math>\R^n</math>. On a alors en utilisant l'inégalité triangulaire pour <math>x=\sum_{i=1}^n x_ie_i\in E</math> :
:<math>N(x)\leq \sum_{i=1}^n |x_i|N(e_i)\leq \left(\sum_{i=1}^n N(e_i)\right) \|x\|_\infty</math>
:Posons <math> C=\sum_{i=1}^n N(e_i)</math>, avec la seconde inégalité triangulaire on obtient pour <math>x,_ y\in E</math> :
:<math>|N(x)-N(y)|\leq N(x-y) \leq C\|x-y\|_\infty</math>
:Ce qui prouve que <math>N</math> est C-lipschitzienne, et donc continue en tant qu'application de <math>(\R^n,\|\cdot \|_\infty)</math> dans <math>\R</math>.
:La sphère <math>\mathcal{S}=\{x\in \R^n | \|x\|_\infty=1\}</math>, est fermée et bornnée, et donc compacte. La restriction de <math>N</math> à <math>\mathcal{S}</math> est donc continue sur un compact, ainsi elle est bornée et atteint ses bornes. Sa borne inférieure est forcément différente de 0 car <math>N(x)=0</math> implique <math>x=0</math> ce qui est impossible sur la sphère. Notons <math>m</math> sa borne inférieure et <math>M</math> sa borne supérieure.
:Finalement, soit <math>x \in \R^n\backslash \{0\}</math>. Alors, <math>\frac{x}{\|x\|_\infty} \in \mathcal{S}</math>, ce qui donne :
:<math>m\leq N\left( \frac{x}{\|x\|_\infty}\right) \leq M</math>
:ou encore :
:<math>m\|x\|_\infty \leq N(x) \leq M\|x\|_\infty</math>.
:Cette inégalité restant vraie pour <math>x=0</math>, on a montré que <math>N</math> est une norme équivalente à la norme infinie.
:
:Considérons maintenant <math>E</math> un espace vectoriel de dimension finie sur <math>\R</math>. Alors, pour <math>n=dim(E)</math>, <math>E</math> est isomorphe à <math>\R^n</math>, et notons <math>\phi</math> cet isomorphisme.
:Soit <math>N_1,\ N_2</math> deux normes sur <math>E</math>, on vérifie que <math>N_1 \circ \phi</math> et <math>N_2 \circ \phi</math> sont des normes sur <math>\R^n</math> qui sont donc équivalentes.
:Il existe donc <math>C_1,\ C_2 >0</math> tels que <math>\forall x \in \R^n,\ C_1N_1 \circ \phi (x)\leq N_2(x) \leq C_2N_1 \circ \phi(x)</math>. La surjectivité de <math>\phi</math> permet alors de conclure.
:Notons que ce cas prouve que si <math>E</math> est un espace vectoriel de dimension finie sur <math>\C</math>, alors toutes les normes sur <math>E</math> sont équivalentes, car <math>E</math> est alors isomorphe à <math>\R^{2n}</math>.
}}
 
 
{{Proposition
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| contenu=
Soient <math>(E,\|\cdot\|)</math> un espace vectoriel normé réel et <math>F</math> un sous-espace vectoriel de <math>E</math> de dimension finie. Alors, <math>F</math> est complet, et donc fermé dans <math>E</math>. En particulier, tout espace vectoriel normé réel de dimension finie est complet.
}}
 
===Compacité et dimension finie ===
{{Proposition
| contenu={{Wikipédia|Théorème de Borel-Lebesgue}}
Une partie d'un espace vectoriel normé réel de dimension finie est compacte si (et seulement si) elle est fermée et bornée.
}}
Réciproquement :
{{Théorème
| titre = Théorème de Riesz
| contenu ={{Wikipédia|Lemme de Riesz#Théorème de Riesz|Théorème de Riesz}}
Un espace vectoriel normé réel est de dimension finie si (et seulement si) sa boule unité fermée est compacte.
}}