« Espaces vectoriels normés/Dimension finie » : différence entre les versions
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== Espaces vectoriels normés de dimension finie ==
{{Wikipédia|Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie}}
=== Equivalence des normes et conséquences===
===Compacité et dimension finie ===▼
{{Proposition▼
| contenu={{Wikipédia|Théorème de Borel-Lebesgue}}▼
Une partie d'un espace vectoriel normé réel de dimension finie est compacte si (et seulement si) elle est fermée et bornée.▼
}}▼
Réciproquement :▼
{{Théorème▼
| titre = Théorème de Riesz▼
| contenu ={{Wikipédia|Lemme de Riesz#Théorème de Riesz|Théorème de Riesz}}▼
Un espace vectoriel normé réel est de dimension finie si (et seulement si) sa boule unité fermée est compacte.▼
}}▼
{{Proposition
| contenu =
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:<math>|N(x)-N(y)|\leq N(x-y) \leq C\|x-y\|_\infty</math>
:Ce qui prouve que <math>N</math> est C-lipschitzienne, et donc continue en tant qu'application de <math>(\R^n,\|\cdot \|_\infty)</math> dans <math>\R</math>.
:La sphère <math>\mathcal{S}=\{x\in \R^n | \|x\|_\infty=1\}</math>, est fermée et bornnée, et c'est donc une partie compacte de <math>\R^n</math>. La restriction de <math>N</math> à <math>\mathcal{S}</math> est donc continue sur un compact, ainsi elle est bornée et atteint ses bornes. Sa borne inférieure est forcément différente de 0 car <math>N(x)=0</math> implique <math>x=0</math> ce qui est impossible sur la sphère. Notons <math>m</math> sa borne inférieure et <math>M</math> sa borne supérieure.
:Finalement, soit <math>x \in \R^n\backslash \{0\}</math>. Alors, <math>\frac{x}{\|x\|_\infty} \in \mathcal{S}</math>, ce qui donne :
:<math>m\leq N\left( \frac{x}{\|x\|_\infty}\right) \leq M</math>
Ligne 60 ⟶ 48 :
| contenu=
Soient <math>(E,\|\cdot\|_E)</math> et <math>(F,\|\cdot\|_F)</math> deux espaces vectoriels normés et <math>f:E\to F</math> une application linéaire. Si <math>E</math> est de dimension finie, alors <math>f</math> est continue.
▲}}
{{Démonstration déroulante
|contenu =
:Notons <math>(e_i)_{1\leq i\leq n}</math> un base de <math>E</math>, et <math>(x_1,\cdots ,x_n)</math> les coordonnées de <math>x\in E</math>.
:Introduisons <math>N\ :\ E \to \R</math> tel que <math>N(x)=\sum_{i=1}^n |x_i|</math>, et on vérifie que <math>N</math> définie une norme sur <math>E</math>.
:On sait alors que <math>N</math> et <math>\|\cdot\|_E</math> sont équivalentes car <math>E</math> est de dimension finie. Ainsi, il existe <math>C>0</math> tel que <math>\forall x\in E,\ N(x)\leq C\|x\|_E</math>.
:On obtient ainsi :
:<math>\|f(x)\|_F\leq \sum_{i=1}^n |x_i|\|f(e_i)\|_F \leq \max_{1\leq i \leq n}\left( \|f(e_i)\|_F \right) N(x)\leq C\max_{1\leq i \leq n}\left( \|f(e_i)\|_F \right)\|x\|_E</math>
:Ce qui prouve la continuité de <math>f</math>.
}}
Ligne 66 ⟶ 64 :
Soient <math>(E,\|\cdot\|)</math> un espace vectoriel normé réel et <math>F</math> un sous-espace vectoriel de <math>E</math> de dimension finie. Alors, <math>F</math> est complet, et donc fermé dans <math>E</math>. En particulier, tout espace vectoriel normé réel de dimension finie est complet.
}}
▲===Compacité et dimension finie ===
▲{{Proposition
▲| contenu={{Wikipédia|Théorème de Borel-Lebesgue}}
▲Une partie d'un espace vectoriel normé réel de dimension finie est compacte si (et seulement si) elle est fermée et bornée.
▲}}
▲Réciproquement :
▲{{Théorème
▲| titre = Théorème de Riesz
▲| contenu ={{Wikipédia|Lemme de Riesz#Théorème de Riesz|Théorème de Riesz}}
▲Un espace vectoriel normé réel est de dimension finie si (et seulement si) sa boule unité fermée est compacte.
}}
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