« Espaces vectoriels normés/Dimension finie » : différence entre les versions
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Ajout d'une démonstration |
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Soient <math>(E,\|\cdot\|_E)</math> et <math>(F,\|\cdot\|_F)</math> deux espaces vectoriels normés et <math>f:E\to F</math> une application linéaire. Si <math>E</math> est de dimension finie, alors <math>f</math> est continue.
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu =
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| contenu=
Soient <math>(E,\|\cdot\|)</math> un espace vectoriel normé réel et <math>F</math> un sous-espace vectoriel de <math>E</math> de dimension finie. Alors, <math>F</math> est complet, et donc fermé dans <math>E</math>. En particulier, tout espace vectoriel normé réel de dimension finie est complet.
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu =
:Si l'on note <math>n</math> la dimension de <math>F</math>, alors il existe un isomorphisme de <math>F</math> dans <math>\R^n</math> que l'on note <math>\phi</math>.
:Comme <math>F</math> est de dimension finie, la proposition précédente nous assure que <math>\phi</math> est une application linéaire continue dont la réciproque est également une application linéaire continue, et donc uniformément continue.
:Ainsi, <math>F=\phi^{-1}(\R^n)</math> est complet car <math>\R^n</math> l'est.
}}
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