« Espaces vectoriels normés/Dimension finie » : différence entre les versions
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m →Equivalence des normes et conséquences : meftypo+Style |
m →Equivalence des normes et conséquences : Style |
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{{Démonstration déroulante
|contenu =
Notons <math>(e_i)_{1\leq i\leq n}</math> un base de <math>E</math>, et <math>(x_1,\cdots ,x_n)</math> les coordonnées de <math>x\in E</math>.
Définissons <math>N\ :\ E \to \R</math> par : <math>N(x)=\
D'autre part,
:<math>\|f(x)\|_F\le\sum_{i=1}^n |x_i|\|f(e_i)\|_F\le
▲:<math>\|f(x)\|_F\le\sum_{i=1}^n |x_i|\|f(e_i)\|_F\le\max_{1\leq i\le n}\left(\|f(e_i)\|_F\right)N(x)\le C\max_{1\le i\le n}\left(\|f(e_i)\|_F\right)\|x\|_E</math>,
ce qui prouve la continuité de <math>f</math>.
}}
Ligne 72 ⟶ 70 :
{{Proposition
| contenu=
En particulier, tout sous-espace vectoriel de dimension finie d'un e.v.n. réel <math>E</math> est complet, donc fermé dans <math>E</math>.
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu =
La proposition précédente nous assure que l'application linéaire <math>\phi</math> est continue, et donc uniformément continue.
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