« Espaces vectoriels normés/Dimension finie » : différence entre les versions
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{{Wikipédia|Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie}}
===Équivalence des normes et conséquences===
{{Lemme
|contenu =
Dans <math>\R^n</math> muni de la norme infinie, les parties compactes sont exactement les parties fermées et bornées.
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu =
:On sait déjà que toute partie compacte est toujours fermée et bornée, il s'agit donc de montrer la réciproque.
:Commençons par montrer que tout interval sur <math>\R</math> est compact. Notons qu'ici la norme est la valeur absolue.
:Soit donc <math>I=[a;b]</math> un intervalle de <math>\R</math>, et soit <math>(u_n)</math> une suite de <math>I</math>.
:Le théorème de Bolzano-Weierstrass nous assure de l'existence d'une suite extraite <math>(u_{\phi(n)})</math> convergente vers <math>u</math>. Comme <math>I</math> est un fermé de <math>\R</math>, on en déduit que <math>u\in I</math>. Ainsi, <math>(u_n)</math> admet une valeur d'adhérence dans <math>I</math>, ce qui prouve que <math>I</math> est compact.
:Examinons maintenant le cas général. On rappelle que la norme utilisée est la norme infinie.
:Soit <math>X</math> une partie fermée et bornée de <math>\R^n</math>. Comme <math>X</math> est bornée, il existe un pavé <math>\prod_{i=1}^n[a_i;b_i]</math> où pour tout <math>i\in \{1,\cdot, n\},\ [a_i;b_i]</math> est un intervalle de <math>\R</math>, tel que <math>X \subset \prod_{i=1}^n[a_i;b_i]</math>.
:Or, la compacité des <math>[a_i;b_i]</math> implique la compacité de <math>\prod_{i=1}^n[a_i;b_i]</math>, et comme <math>X</math> est un fermé inclus dans un compact, on en déduit que <math>X</math> est compact.
}}
{{Proposition
| contenu =
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