« Espaces vectoriels normés/Compacité » : différence entre les versions

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| contenu =
Soit <math>A</math> une partie de <math>E</math>. On dit que <math>A</math> est compacte si pour tout recouvrement ouvert <math>(O_i)_{i\in I}</math>, il existe un sous-recouvrement fini <math>(O_j)_{j\in J}</math> avec <math>J</math> une partie finie de <math>I</math>.
}}
{{Proposition
|contenu =
Si <math>A</math> est une partie compacte de <math>E</math>, alors <math>A</math> est fermée.
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu =
:On peut supposer <math>A\neq E</math>, car <math>E</math> est toujours fermée.
:Soit <math>x\in E\backslash A</math>.
:Pour tout <math>y\in A</math>, on peut trouver une boule ouverte <math>B_y</math> contenant <math>y</math>, et ne contenant pas <math>x</math>, et une boule ouverte <math>B_y'</math> contenant <math>x</math>, et ne contenant pas <math>y</math>.
:Ainsi, <math>(B_y)_{y\in A}</math> est un recouvrement ouvert de <math>A</math>, dont on peut extraire un sous-recouvrement fini <math>(B_y)_{y\in J}</math> où <math>J</math> est une partie finie de <math>A</math>.
:On a alors <math>O'=\cup_{y\in J} B_y'</math> qui est un voisinage ouvert de <math>x</math> car <math>J</math> est finie. Et donc, pour <math>O=\cap_{y\in J} B_y</math>, on a <math>O\cap O' = \emptyset</math>.
:On en déduit que <math>O' \subset E \backslash A</math> car <math>A\subset O</math>. Par l'arbitraire sur <math>x</math>, <math> E \backslash A</math> est voisinage de chacun de ses points, et est donc ouvert.
:Ceci termine de montrer que <math>A</math> est fermée.
}}
 
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