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+ Exercice 3-4 : équivalence des normes et complétude, sans utiliser la compacité
m (typo)
(+ Exercice 3-4 : équivalence des normes et complétude, sans utiliser la compacité)
#Si <math>m<L</math> alors <math>f</math> a un minimum. De même, si <math>M>L</math> alors <math>f</math> a un maximum (en raisonnant sur <math>-f</math>). Enfin, si <math>m=M</math> alors <math>f</math> est constante.
#D'après la question 1, si <math>m<L</math> alors <math>m>-\infty</math>. Si <math>m=L</math> (supposée finie), on a aussi <math>m>-\infty</math>. Donc <math>f</math> est minorée. On démontre de même (ou on le déduit en remplaçant <math>f</math> par <math>-f</math>) que <math>f</math> est majorée.
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==Exercice 3-4 : équivalence des normes et complétude==
L'objet de cet exercice est de redémontrer le résultat suivant du cours, ''sans faire appel à la notion de compacité'' :
:''Sur un e.v. réel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes et l'espace est complet pour ces normes.''
#Soit <math>(E,\|\cdot\|)</math> un e.v.n. réel, <math>e_0</math> un vecteur non nul de <math>E</math> et <math>H</math> un hyperplan [[Espace vectoriel/Définitions#Sous-espaces vectoriels supplémentaires|supplémentaire]] de <math>\R e_0</math>. On munit <math>H</math> de la norme <math>\|\cdot\|_H</math> restriction de <math>\|\cdot\|</math>, <math>\R</math> de la norme <math>|\cdot|</math> et <math>H\times\R</math> de la [[../../Définitions - Éléments de Topologie#Constructions de normes|norme produit]], que nous noterons <math>\|\cdot\|'</math>, et l'on considère la bijection (clairement linéaire et continue) <math>f:\left(H\times\R,\|\cdot\|'\right)\to\left(E,\|\cdot\|\right),\ (h,\lambda)\mapsto h+\lambda e_0</math>.<br>Montrer que si <math>H</math> est fermé dans <math>E</math> alors <math>f^{-1}</math> est également continue.
#En déduire ''par récurrence'' la proposition suivante :
#:Pour tout <math>n\in\N</math>, toutes les normes sur un e.v. réel de dimension <math>n</math> sont équivalentes et l'espace est complet pour ces normes.
{{Solution|contenu=
#<math>f^{-1}(x)=\left(x-g(x)e,g(x)\right)</math> où <math>g</math> est une forme linéaire de noyau <math>H</math> donc continue ([[../Applications linéaires continues#Exercice 1-2|Exercice 1-2]]). Par conséquent, <math>f^{-1}:E\to H\times\R</math> est continue.
#Pour <math>n=0</math>, la proposition est triviale. Supposons-la vérifiée à l'ordre <math>n</math> et montrons qu'alors, elle l'est encore à l'ordre <math>n+1</math>. Soit donc <math>(E,\|\cdot\|)</math> un e.v.n. réel de dimension <math>n+1</math>, <math>\left(e_0,\dots,e_n\right)</math> une base de <math>E</math>, et <math>H</math> l'hyperplan de base <math>\left(e_1,\dots,e_n\right)</math>, complet par hypothèse de récurrence donc fermé dans <math>E</math>, ce qui permet d'appliquer la question précédente : les bijections linéaires <math>f</math> et <math>f^{-1}</math> sont continues. Par conséquent :
#*L'e.v.n. <math>(E,\|\cdot\|)</math> est complet car <math>\left(H\times\R,\|\cdot\|'\right)</math> l'est, puisque <math>\left(H,\|\cdot\|_H\right)</math> l'est (par hypothèse de récurrence) et <math>\left(\R,|\cdot|\right)</math> aussi ;
#*La norme <math>\|\cdot\|</math> est équivalente à la norme<br><math>\sum_{i=0}^nx_ie_i\mapsto\max\left(\left\|\sum_{i=1}^nx_ie_i\right\|_H,\left|x_0\right|\right)</math>,<br>elle-même équivalente (par hypothèse de récurrence) à la norme<br><math>\sum_{i=0}^nx_ie_i\mapsto\max\left(\left\|\left(x_1,\dots,x_n\right)\right\|_\infty,\left|x_0\right|\right)=\left\|\left(x_0,\dots,x_n\right)\right\|_\infty</math>.
}}
 
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