« Espaces vectoriels normés/Dimension finie » : différence entre les versions
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| page_liée = Exercices/Dimension finie
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__TOC__
Dans ce chapitre, nous verrons comment les choses se simplifient dans le cas où les espaces vectoriels considérés sont de dimension finie. En particulier, nous verrons que :
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{{clr}}
== Espaces vectoriels normés de dimension finie ==
Ligne 22 :
{{Lemme
|contenu =
Dans <math>\R^n</math> muni de la norme
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu =
Soit donc <math>I=[a;b]</math> un intervalle de <math>\R</math>, et soit <math>(u_n)</math> une suite de <math>I</math>.
:Examinons maintenant le cas général. On rappelle que la norme utilisée est la norme infinie.▼
:Soit <math>X</math> une partie fermée et bornée de <math>\R^n</math>. Comme <math>X</math> est bornée, il existe un pavé <math>\prod_{i=1}^n[a_i;b_i]</math> où pour tout <math>i\in \{1,\cdots, n\},\ [a_i;b_i]</math> est un intervalle de <math>\R</math>, tel que <math>X \subset \prod_{i=1}^n[a_i;b_i]</math>. ▼
▲
Or, la compacité des <math>[a_i;b_i]</math> implique la compacité de <math>\prod_{i=1}^n[a_i;b_i]</math>, et comme <math>X</math> est un fermé inclus dans un compact, on en déduit que <math>X</math> est compact.
}}
{{Proposition
| contenu =
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu =
Nous allons tout d'abord démontrer le résultat pour l'espace <math>
Soit <math>N</math> une norme sur <math>\R^n</math>. Notons <math>(e_i)_{1\leq i\leq n}</math> la base canonique de <math>\R^n</math>. On a alors, en utilisant l'inégalité triangulaire :
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Il existe donc <math>C_1,C_2 >0</math> tels que <math>\forall x\in\R^n\quad C_1N_1\circ\phi (x)\le N_2\circ\phi(x)\le C_2N_1\circ\phi(x)</math>. La surjectivité de <math>\phi</math> permet alors de conclure.
}}
;Remarque
{{Corollaire
| contenu=
Soient <math>(E,\|\cdot\|_E)</math> et <math>(F,\|\cdot\|_F)</math> deux espaces vectoriels normés et <math>f:E\to F</math> une application linéaire. Si <math>E</math> est de dimension finie, alors <math>f</math> est continue.
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On vérifie que <math>N</math> est une norme sur <math>E</math>. Puisque <math>E</math> est de dimension finie, on sait alors que <math>N</math> et <math>\|\cdot\|_E</math> sont équivalentes, c.-à-d. définissent la même topologie.
Or
:<math>\|f(x)\|_F\le\sum_{i=1}^n |x_i|\|f(e_i)\|_F\le\left(\sum_{i=1}^n\|f(e_i)\|_F\right)N(x)</math>,
ce qui prouve la continuité de <math>f</math>.
}}
{{Proposition
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Ainsi, <math>F=\phi(\R^n)</math> est complet car <math>\R^n</math> l'est.
}}
;Remarque
:On peut démontrer les deux propositions ci-dessus sans faire appel à la notion de compacité :
{{CfExo
| idfaculté = mathématiques
| exercice = [[../Exercices/Dimension finie#Exercice 3-4 : équivalence des normes et complétude|Exercice 3-4 : équivalence des normes et complétude]]
}}
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