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« Espaces vectoriels normés/Dimension finie » : différence entre les versions

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{{Lemme
|contenu =
Dans <math>\left(\R^n,\|\cdot\|_\infty\right)</math> muni de la norme infini, les parties compactes sont exactement les parties fermées et bornées.
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu =
On sait déjà que toutequ'une partie compacte est toujours fermée et bornée, ; il s'agit donc de montrer la réciproque.
 
Commençons par montrer que tout intervalle de <math>\left(\R,|\cdot|\right)</math> est compact,de la normeforme étant<math>I=[-M,M]</math> laest valeur absoluecompact.
:Soit <math>(u_n)</math> une suite de <math>I</math>. Le [[Approfondissement sur les suites numériques/Suites extraites#Théorème de Bolzano-Weierstrass|théorème de Bolzano-Weierstrass]] nous assure de l'existence d'une suite extraite convergente <math>(u_{\phi(n)})</math>. Soit <math>u\in\R</math> sa limite. Comme <math>I</math> est un fermé de <math>\R</math>, <math>u\in I</math>. Ainsi, <math>(u_n)</math> admet une valeur d'adhérence dans <math>I</math>, ce qui prouve que <math>I</math> est compact.▼
 
Examinons maintenant le cas général.
Soit donc <math>I=[a;b]</math> un intervalle de <math>\R</math>, et soit <math>(u_n)</math> une suite de <math>I</math>.
:Soit <math>X</math> une partie fermée et bornée de <math>\left(\R^n,\|\cdot\|_\infty\right)</math>. Comme <math>X</math> est bornée, ilelle existeest incluse dans un pavé <math>\prod_{i=1}^n[a_i;b_i-M,M]^n</math>. oùOr, pourla toutcompacité de <math>i\in \{1,\cdots[-M, n\},\ [a_i;b_iM]</math> estimplique un intervallecelle de <math>\R[-M,M]^n</math>, telet quecomme <math>X</math> \subsetest \prod_{i=1}^n[a_i;b_i]un fermé inclus dans ce compact, on en déduit que <math>X</math>. est compact.▼
 
▲Le [[Approfondissement sur les suites numériques/Suites extraites#Théorème de Bolzano-Weierstrass|théorème de Bolzano-Weierstrass]] nous assure de l'existence d'une suite extraite convergente <math>(u_{\phi(n)})</math>. Soit <math>u\in\R</math> sa limite. Comme <math>I</math> est un fermé de <math>\R</math>, <math>u\in I</math>. Ainsi, <math>(u_n)</math> admet une valeur d'adhérence dans <math>I</math>, ce qui prouve que <math>I</math> est compact.
 
Examinons maintenant le cas général. On rappelle que la norme utilisée est la norme infinie.
 
▲Soit <math>X</math> une partie fermée et bornée de <math>\R^n</math>. Comme <math>X</math> est bornée, il existe un pavé <math>\prod_{i=1}^n[a_i;b_i]</math> où pour tout <math>i\in \{1,\cdots, n\},\ [a_i;b_i]</math> est un intervalle de <math>\R</math>, tel que <math>X \subset \prod_{i=1}^n[a_i;b_i]</math>.
 
Or, la compacité des <math>[a_i;b_i]</math> implique la compacité de <math>\prod_{i=1}^n[a_i;b_i]</math>, et comme <math>X</math> est un fermé inclus dans un compact, on en déduit que <math>X</math> est compact.
}}
 
Ligne 68 ⟶ 62 :
 
 
Considérons maintenant un <math>E\R</math> un -espace vectoriel de dimension finie sur <math>\RE</math>. Alors,de pourdimension finie <math>n=\dim(E)</math>. Alors, <math>E</math> est isomorphe à <math>\R^n</math>,. et notonsNotons <math>\phi:\R^n\to E</math> cetun tel isomorphisme.
 
SoitSoient <math>N_1,</math> et <math>N_2</math> deux normes sur <math>E</math>, ; on vérifie que <math>N_1 \circ \phi</math> et <math>N_2 \circ \phi</math> sont des normes sur <math>\R^n</math>, qui sont donc équivalentes.
 
Il existe donc <math>C_1,C_2 >0</math> tels que <math>\forall x\in\R^n\quad C_1N_1\circ\phi (x)\le N_2\circ\phi(x)\le C_2N_1\circ\phi(x)</math>. La surjectivité de <math>\phi</math> permet alors de conclure.
Ligne 80 ⟶ 74 :
{{Corollaire
| contenu=
Soient <math>(E,\|\cdot\|_E)</math> et <math>(F,\|\cdot\|_F)</math> deux espacese.v.n. vectoriels normésréels et <math>f:E\to F</math> une application linéaire. Si <math>E</math> est de dimension finie, alors <math>f</math> est continue.
}}
{{Démonstration déroulante
Ligne 96 ⟶ 90 :
{{Proposition
| contenu=
Tout espace vectoriel normée.v.n. réel de dimension finie est complet.
 
En particulier, tout sous-espace vectoriel de dimension finie d'un e.v.n. réel <math>E</math> est complet, donc fermé dans <math>E</math>.
Ligne 119 ⟶ 113 :
{{Proposition
| contenu={{Wikipédia|Théorème de Borel-Lebesgue}}
Une partie d'un espace vectoriel normée.v.n. réel de dimension finie est compacte si (et seulement si) elle est fermée et bornée.
}}
Réciproquement :
Ligne 125 ⟶ 119 :
| titre = Théorème de Riesz
| contenu ={{Wikipédia|Lemme de Riesz#Théorème de Riesz|Théorème de Riesz}}
Un espace vectoriel normée.v.n. réel est de dimension finie si (et seulement si) sa boule unité fermée est compacte.
}}
 
 
 
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