« Espaces vectoriels normés/Compacité » : différence entre les versions

fignolages + rectifs démo
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(fignolages + rectifs démo)
Dans ce chapitre, nous allons étudier une nouvelle notion topologique : la compacité. Intuitivement, un espace sera dit compact s'il se comporte de manière similaire à un ensemble fini, notamment dans le comportement des fonctions définies sur cet espace. Par exemple, une fonction continue sur un compact sera bornée et atteindra ses bornes.
 
Dans toute la suite, <math>E</math> est un <math>\mathbb{K}R</math>-espace vectoriel normé, avec <math>\mathbb{K}=\R</math> ou <math>\C</math>.
{{clr}}
== Compacité ==
| titre = Définition : Recouvrement ouvert, sous-recouvrement.
|contenu =
SoitSoient <math>A</math> une partie de <math>E</math>. On dit queet <math>(O_i)_{i\in I}</math> est un recouvrement de <math>A</math> si <math>A\subset \cup_{i\in I} O_i</math>. Il est dit ouvert si <math>\forall i \in I,\ O_i</math> est ouvert. Un sous-recouvrement de <math>(O_i)_{i\in I}</math> est une sous famille de <math>(O_i)_{i\in I}</math> qui est encore un recouvrementparties de <math>AE</math>.
 
On dit que <math>(O_i)_{i\in I}</math> est un '''recouvrement''' de <math>A</math> si <math>A\subset \cup_{i\in I} O_i</math>.
 
Il est dit '''ouvert''' si tous les <math>O_i</math> sont ouverts.
 
Un '''sous-recouvrement''' de <math>(O_i)_{i\in I}</math> est une sous-famille <math>(O_i)_{i\in J}</math> (<math>J\subset I</math>) qui est encore un recouvrement de <math>A</math>. Il est dit fini si <math>J</math> est fini.
}}
;Remarque :
*:On définit de même des recouvrements fermés, bornéesbornés, etc...
{{Définition
| titre = Définition : Partie compacte.
| contenu =
Soit <math>A</math> une partie de <math>E</math>. On dit que <math>A</math> est compacte si pour tout recouvrement ouvert <math>(O_i)_{i\in I}</math>, il existe un sous-recouvrement fini <math>(O_j)_{j\in J}</math> avec <math>J</math> une partie finie de <math>I</math>.
}}
{{Proposition
|contenu =
Si <math>A</math> est uneToute partie compacte de <math>E</math>, alors <math>A</math> est fermée.
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu =
Soit <math>A</math> une partie compacte de <math>E</math> ; montrons que <math>A</math> est fermé, c.-à-d.que <math>E\setminus A</math> est un voisinage de tout point <math>x\in E\setminus A</math>.
:On peut supposer <math>A\neq E</math>, car <math>E</math> est toujours fermée.
 
:Soit <math>x\in E\backslash A</math>.
:Pour tout <math>y\in A</math>, on peut trouver unedeux bouleboules ouverteouvertes disjointes, <math>B_y</math> contenant <math>y</math>, et ne contenant pas <math>x</math>, et une boule ouverte <math>B_y'</math> contenant <math>x</math>, et ne contenant pas <math>y</math>.
 
:Ainsi, <math>(B_y)_{y\in A}</math> est un recouvrement ouvert de <math>A</math>, dont on peut extraire un sous-recouvrement fini <math>(B_y)_{y\in J}</math> où <math>J</math> est une partie finie de <math>A</math>.
:On a alorsAinsi, <math>O'=\cup_(B_y)_{y\in JA} B_y'</math> qui est un voisinagerecouvrement ouvert de <math>xA</math>, cardont <math>J</math>on estpeut finie.extraire Etun donc,sous-recouvrement pourfini <math>O=\cap_(B_y)_{y\in J} B_y</math>, on a <math>O\cap O' = \emptyset</math>.
 
:On en déduit que <math>O' \subset E \backslash A</math> car <math>A\subset O</math>. Par l'arbitraire sur <math>x</math>, <math> E \backslash A</math> est voisinage de chacun de ses points, et est donc ouvert.
On a alors <math>x\in O':Ceci=\cap_{y\in termineJ} B_y'</math> qui est deun montrerouvert quecar <math>AJ</math> est ferméefini.
 
De plus, <math>O'</math> est disjoint de l'ouvert <math>O:=\cup_{y\in J}B_y</math>. On en déduit que <math>O'\subset E\setminus A</math> car <math>A\subset O</math>.
 
Ceci termine de montrer que <math>E\setminus A</math> est un voisinage de <math>x</math>.
}}
 
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