« Espaces vectoriels normés/Compacité » : différence entre les versions
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Ligne 9 :
Dans ce chapitre, nous allons étudier une nouvelle notion topologique : la compacité. Intuitivement, un espace sera dit compact s'il se comporte de manière similaire à un ensemble fini, notamment dans le comportement des fonctions définies sur cet espace. Par exemple, une fonction continue sur un compact sera bornée et atteindra ses bornes.
Dans toute la suite, <math>E</math> est un <math>\
{{clr}}
== Compacité ==
Ligne 17 :
| titre = Définition : Recouvrement ouvert, sous-recouvrement.
|contenu =
On dit que <math>(O_i)_{i\in I}</math> est un '''recouvrement''' de <math>A</math> si <math>A\subset \cup_{i\in I} O_i</math>. Il est dit '''ouvert''' si tous les <math> Un '''sous-recouvrement''' de }}
;Remarque :
{{Définition
| titre = Définition : Partie compacte.
| contenu =
Soit <math>A</math> une partie de <math>E</math>. On dit que <math>A</math> est compacte si pour tout recouvrement ouvert <math>(O_i)_{i\in I}</math>, il existe un sous-recouvrement fini
}}
{{Proposition
|contenu =
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu =
Soit <math>A</math> une partie compacte de <math>E</math> ; montrons que <math>A</math> est fermé, c.-à-d.que <math>E\setminus A</math> est un voisinage de tout point <math>x\in E\setminus A</math>.
On a alors <math>x\in O':
De plus, <math>O'</math> est disjoint de l'ouvert <math>O:=\cup_{y\in J}B_y</math>. On en déduit que <math>O'\subset E\setminus A</math> car <math>A\subset O</math>.
Ceci termine de montrer que <math>E\setminus A</math> est un voisinage de <math>x</math>.
}}
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