« Espaces vectoriels normés/Compacité » : différence entre les versions
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→Définitions : Ajout de propositions+démonstrations |
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Ligne 30 :
| titre = Définition : Partie compacte.
| contenu =
Soit <math>A</math> une partie de <math>E</math>. On dit que <math>A</math> est '''compacte''' si pour tout recouvrement ouvert <math>(O_i)_{i\in I}</math>, il existe un sous-recouvrement fini.
}}
{{Proposition
Ligne 49 :
Ceci termine de montrer que <math>E\setminus A</math> est un voisinage de <math>x</math>.
}}
{{Proposition
|contenu =
Soit <math>A</math> une partie compacte de <math>E</math>. Toute partie <math>B</math> fermée de <math>A</math> est compacte.
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu=
:Soit <math>(O_i)_{i \in I}</math> un recouvrement ouvert de <math>B</math>. Par passage au complémentaire, dans <math>B</math>, on obtient une famille <math>(F_i)_{i\in I}</math> de fermés d'intersection vide.
:Comme <math>B</math> est fermé, les <math>F_i</math> sont des fermés de <math>A</math>. Un nouveau passage au complémentaire, dans <math>A</math> cette fois, nous donne un recouvrement ouvert <math>(O_i')_{i\in I}</math> de <math>A</math> dont on peut extraire un sous_recouvrement fini <math>(O_j')_{j\in J}</math> par l'hypothèse de compacité.
:Or, pour tout <math>i\in I,\ O_i\subset O_i'</math>. Donc, <math>(O_j)_{j\in J}</math> est un sous-recouvrement fini de <math>(O_i)</math>, ce qui prouve la compacité de <math>B</math>.
}}
{{Proposition
| contenu=
#Une union finie de parties compactes de <math>E</math> est compacte.
#Une intersection non vide de parties compactes de <math>E</math> est compacte.
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu =
:Soit <math>A_1,\cdots,A_N</math> des parties compactes de <math>E</math>.
#Soit <math>(O_i)_{i\in I}</math> un recouvrement de <math>\cup_{k=1}^N A_k</math>. Alors, <math>(O_i)_{i\in I}</math> est un recouvrement de <math>A_k</math>, pour tout <math> 1\leq k\leq N</math>dont on peut extraire un sous-recouvrement fini.
#:L'union de tous les sous-recouvrements finis ainsi extraits est alors finie, et forme un recouvrement de <math>\cup_{k=1}^N A_k</math>, ce qui termine la preuve.
#On sait que, pour tout <math>1\leq k\leq N,\ A_k</math> est un fermé, et donc <math>\cap_{k=1}^N A_k</math> est fermée.
#:Or, pour tout <math>1\leq k\leq N,\ \cap_{k=1}^N A_k\subset A_k</math>. C'est donc un compact, comme partie fermée d'un compact.
}}
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