« Espaces vectoriels normés/Compacité » : différence entre les versions

fignolages + rectifS démoS
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(fignolages + rectifS démoS)
| titre = Définition : Recouvrement ouvert, sous-recouvrement.
|contenu =
Soient <math>A</math> une partie de <math>E</math> et <math>(O_i)_{i\in I}</math> une [[Application (mathématiques)/Famille|famille]] de parties de <math>E</math>.
 
On dit que <math>(O_i)_{i\in I}</math> est un '''recouvrement''' de <math>A</math> si <math>A\subset \cup_{i\in I} O_i</math>.
Il est dit '''ouvert''' si tous les <math>O_i</math> sont ouverts.
 
Un '''sous-recouvrement''' de <math>(O_i)_{i\in I}</math> est une sous-famille <math>(O_i)_{i\in J}</math> (<math>J\subset I</math>) qui est encore un recouvrement de <math>A</math>. Il est dit fini si <math>J</math> est fini.
 
Il est dit '''fini''' si <math>J</math> est fini.
}}
;Remarque :
Ceci termine de montrer que <math>E\setminus A</math> est un voisinage de <math>x</math>.
}}
 
 
{{Proposition
|contenu =
Soit <math>A</math> une partie compacte de <math>E</math>. Toute partie <math>B</math> fermée de <math>A</math> est compacte.
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu=
:Soit <math>B</math> une partie fermée de <math>A</math> et soit <math>(O_i)_{i \in I}</math> un recouvrement ouvert de <math>B</math>. ParEn passagelui auadjoignant complémentaire, dansl'ouvert <math>E\setminus B</math>, on obtient uneun famillerecouvrement ouvert de <math>(F_i)_{i\in I}A</math> de fermés d'intersection vide.
 
:Comme <math>B</math> est fermé, les <math>F_i</math> sont des fermés de <math>A</math>. Un nouveau passage au complémentaire, dans <math>A</math> cette fois, nous donne un recouvrement ouvert <math>(O_i')_{i\in I}</math> de <math>A</math> dont on peut extraire un sous_recouvrement fini <math>(O_j')_{j\in J}</math> par l'hypothèse de compacité.
:Or, pour toutPuisque <math>i\inA</math> Iest compact,\ O_i\subsetil existe alors une partie finie O_i'<math>J</math>. Donc,de <math>(O_j)_{j\in J}I</math> esttelle un sous-recouvrement fini deque <math>A\subset\left(O_iE\setminus B\right)\cup\cup_{i\in J}O_i</math>, cesi quibien prouve la compacité deque <math>B\subset\cup_{i\in J}O_i</math>.
}}
 
 
{{Proposition
| contenu=
#UneToute union finie de parties compactes de <math>E</math> est compacte.
#UneToute intersection d'une famille non vide de parties compactes de <math>E</math> est compacte.
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu =
#Soient <math>A_1,\cdots,A_N</math> des parties compactes de <math>E</math> et <math>A</math> leur réunion.<br>Soit <math>(O_i)_{i\in I}</math> un recouvrement ouvert de <math>A</math>. Alors, pour tout <math>1\le k\le N</math>, <math>(O_i)_{i\in I}</math> est un recouvrement ouvert de <math>A_k</math>, dont on peut extraire un sous-recouvrement fini <math>(O_i)_{i\in J_k}</math>.<br>L'ensemble <math>J:=\cup_{k=1}^NJ_k</math> est alors fini, et <math>(O_i)_{i\in J}</math> est un recouvrement de <math>A</math>.
:Soit <math>A_1,\cdots,A_N</math> des parties compactes de <math>E</math>.
#SoitSoient <math>\left(O_iB_t\right)_{it\in IT}</math> unune recouvrementfamille non vide de parties compactes de <math>E</math>, <math>B:=\cup_cap_{k=1t\in T}^N A_kB_t</math>. Alors,et <math>(O_i)_{it_0\in I}T</math>. estOn unsait recouvrementque detous les <math>A_kB_t</math> sont fermés, pouret toutdonc <math>B</math> 1\leqest kfermé.<br>Or <math>B\leqsubset NB_{t_0}</math>dont. onC'est peut extrairedonc un sous-recouvrementcompact, fini.comme partie fermée d'un compact.
#:L'union de tous les sous-recouvrements finis ainsi extraits est alors finie, et forme un recouvrement de <math>\cup_{k=1}^N A_k</math>, ce qui termine la preuve.
#On sait que, pour tout <math>1\leq k\leq N,\ A_k</math> est un fermé, et donc <math>\cap_{k=1}^N A_k</math> est fermée.
#:Or, pour tout <math>1\leq k\leq N,\ \cap_{k=1}^N A_k\subset A_k</math>. C'est donc un compact, comme partie fermée d'un compact.
}}
 
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