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|titre = Définition : Suite extraite, Valeur d'adhérence
|contenu =
:Soit <math>a\in E</math> et <math>(u_n)</math> une suite de <math>E</math>.
:*On dit que <math>(u_{n_k})_{k\in \N}</math> est une '''[[Approfondissement sur les suites numériques/Suites extraites|suite extraite]]''' de <math>(u_n)_{n\in \N}</math> si la suite <math>(n_k)</math> est à valeurs dans <math>\N</math> et strictement croissante.
:*On dit que <math>a</math> est une '''valeur d'adhérence''' de <math>(u_n)</math> s'il existe une suite extraite <math>(u_{n_k})_{k\in \N}</math> qui converge vers <math>a</math>.
}}
{{Proposition
|contenu =
:Soit <math>a\in E</math> et <math>(u_n)</math> une suite de <math>E</math>. <math>a</math> est une valeur d'adhérence de <math>(u_n)</math> si et seulement si pour tout voisinage <math>V</math> de <math>a</math> on a <math>\forall \epsilon >0,~\forall N\in \N,~\exist n>N,~x_n\in V </math>.
#<math>a</math> est une valeur d'adhérence de <math>(u_n)</math> si et seulement si tout voisinage <math>V</math> de <math>a</math> contient une infinité de termes de la suite, autrement dit : <math>\forall N\in\N\quad\exist n>N\quad x_n\in V</math>.
:Soit <math>a\in E</math> et <math>(u_n)</math> une suite de <math>E</math>. #<math>(u_n)</math> converge vers <math>a</math> (si et) seulement si toutes ses suites extraites convergent vers <math>la</math>.<br>En particulier, si une suite converge alors sa limite est son unique valeur d'adhérence.
}}
 
{{Proposition
|titre = Proposition : Caractérisationcaractérisation séquentielle de la compacité
|contenu =
:Soit <math>a\in E</math> et <math>(u_n)</math> une suite de <math>E</math>. <math>(u_n)</math> converge vers <math>a</math> si et seulement si toutes ses suites extraites convergent vers <math>l</math>.
:En particulier, si <math>(u_n)</math> converge vers <math>a</math> alors <math>a</math> est une valeur d'adhérence pour <math>(u_n)</math>.
}}
Un critère plus pratique :
{{Proposition
|contenu =
:Soit <math>a\in E</math> et <math>(u_n)</math> une suite de <math>E</math>. <math>(u_n)</math> converge vers <math>a</math> si et seulement si les suites <math>(u_{2n})</math> et <math>(u_{2n+1})</math> convergent vers <math>a</math>.
}}
{{Proposition
|titre = Proposition : Caractérisation séquentielle de la compacité
|contenu =
:Soit <math>A\subset E</math>. <math>A</math> est compacte si et seulement si toute suite de <math>A</math> admet une valeur d'adhérence <math>a\in A</math>.
{{Proposition
|contenu =
:Soient <math>E,\ F</math> deux e.v.n., et <math>A</math> (resp. <math>B</math>) une partie cmpactecompacte de <math>E</math> (resp. <math>F</math>). Alors, <math>A\times B</math> est une partie compacte de <math>E\times F</math>.
}}
 
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