« Topologie générale/Suites » : différence entre les versions
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:<math>\forall V\in\mathcal V(a)\quad\forall n\in\N\quad\exists k\ge N\quad u_k\in V</math>.
}}
{{Définition
|titre = Définition : suite extraite
|contenu =
Soit <math>(u_n)</math> une suite. On dit que <math>(u_{n_k})_{k\in \N}</math> est une '''[[Approfondissement sur les suites numériques/Suites extraites|suite extraite]]''' (ou sous-suite) de <math>(u_n)_{n\in \N}</math> si la suite <math>(n_k)</math> est à valeurs dans <math>\N</math> et strictement croissante.
}}
{{Propriété
| titre = Propriétés
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# L'ensemble des valeurs d'adhérence de <math>(u_n)</math> est un fermé.
# Toute valeur d'adhérence d'une sous-suite de <math>(u_n)</math> est une valeur d'adhérence de <math>(u_n)</math>.
# Toute limite d'une sous-suite de <math>(u_n)</math> est une valeur d'adhérence de <math>(u_n)</math>.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
#Si <math>u_n\to\ell</math> alors pour tout voisinage <math>V</math> de <math>\ell</math>, il existe un indice à partir duquel tous les termes de la suite sont dans <math>V</math>.
#Notons <math>X_n=\{u_k\mid k\geq n\}</math>. Un point <math>a</math> est une valeur d'adhérence de <math>(u_n)</math> si et seulement si chacun de ses voisinages rencontre tous les <math>X_n</math>, c'est-à-dire si <math>a</math> est adhérent à tous les <math>X_n</math>.
Les points 3 et 4 sont des conséquences immédiates du point 2. Le point 5 est une conséquence immédiate des points 1 et 4.
}}
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