« Topologie générale/Espace métrique » : différence entre les versions

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C'est une conséquence directe du lemme ci-dessus. En l'affinant un peu, on démontre même (exercice) que toute suite de voisinages de <math>x</math> dont le diamètre tend vers <math>0</math> constitue une base de voisinages de <math>x</math>.
 
Dans un espace topologique, nous avons vu que toute limite d'une sous-suite d'une suite <math>(u_n)</math> est une valeur d'adhérence de <math>(u_n)</math>. Dans un espace métrique, la réciproque est vraie :
{{Proposition|titre=Valeurs d'adhérence d'une suite|contenu=
Dans un espace métrique, les valeurs d'adhérence d'une suite sont les limites de ses sous-suites convergentes.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
Nous avons vu au chapitre précédent que dans un espace topologique quelconque, toute limite d'une sous-suite d'une suite <math>(u_n)</math> est une valeur d'adhérence de <math>(u_n)</math>. Montrons que dans un espace métrique <math>\left(E,d\right)</math>, la réciproque est vraie. Soient <math>(u_n)_{n\in\N}</math> une suite dans <math>E</math>, et <math>a</math> une valeur d'adhérence de cette suite, c'est-à-dire (par définition) :<center>
<math>\forall \varepsilon\in\R_+^*\quad\forall N\in\N\quad\exist k\ge N\quad d\left(u_k,a\right)<\varepsilon</math>.</center>
[[Introduction aux mathématiques/Entiers naturels#Suite définie par une relation de récurrence|Construisons par récurrence]] une extraction <math>\varphi</math> (c'est-à-dire une application strictement croissante <math>\varphi:\N\to\N</math>) telle que la sous-suite <math>(u_{\varphi(n)})</math> vérifie la propriété suivante :<center><math>\forall n\in\N\quad d\left(u_{\varphi(n)},a\right)<\frac1{n+1}</math>.</center>Pour <math>n=0</math>, la définition ci-dessus de « <math>a</math> est valeur d'adhérence de <math>(u_n)_{n\in\N}</math> », appliquée à <math>\varepsilon=1</math> et <math>N=0</math>, nous fournit au moins un entier naturel <math>k</math> tel que <math>d\left(u_k,a\right)<1</math>. On note <math>\varphi(0)</math> un tel entier (par exemple : le plus petit).<br />Supposons <math>\varphi</math> définie jusqu'au rang <math>n</math>. La définition de « <math>a</math> est valeur d'adhérence de <math>(u_n)_{n\in\N}</math> », appliquée à <math>\varepsilon=\frac1{n+1}</math> et <math>N=\varphi(n)+1</math>, nous fournit au moins un entier <math>k>\varphi(n)</math> tel que <math>d\left(u_k,a\right)<\frac1{n+1}</math>. On peut alors noter <math>\varphi(n+1)</math> un tel entier.<br />Il est maintenant clair que la sous-suite ainsi construite converge vers <math>a</math>, ce qui achève la démonstration
}}