| titre = Définition : espace compact, partie compacte
| contenu =
*Un '''espace''' topologique <math>''X</math>'' est dit '''compact''' s'il est [[../Espace topologique#Définitions fondamentales|séparé]] et si pour tout recouvrement ouvert de <math>''X</math>'', il existe un sous-recouvrement fini.
*Une '''partie''' <math>''A</math>'' de <math>''X</math>'' est dite '''compacte''' si l'espace topologique <math>''A</math>'' (muni de la [[../Espace topologique#Exemples classiques d'espaces topologiques|topologie induite]]) est compact.
}}
{{Remarque|titre=Remarques|contenu=
*Par définitioncontraposition deet lapassage topologieaux induitecomplémentaires, une partie <math>A</math> d'un espace séparé <math>''X</math>'' est compactecompact si et seulement si pour toute famille <math>(O_iF_i)_{i\in I}</math> d'ouvertsde fermés de <math>''X</math>'' telledont queles <math>A\subset\cup_{i\inintersections I}O_i</math>,finies ilsont existenon unevides (c.-à-d. telle que pour toute partie finie <math>J</math> de <math>I</math> telle que, <math>A\subset\cup_cap_{i\in J}O_iF_i\ne\varnothing</math>), a une intersection non vide. En particulier, dans un espace compact, toute suite décroissante de fermés non vides a une intersection non vide.
*Par définition de la topologie induite, une partie <math>A</math> d'un espace séparé ''X'' est compacte si et seulement si pour toute famille <math>(O_i)_{i\in I}</math> d'ouverts de ''X'' telle que <math>A\subset\cup_{i\in I}O_i</math>, il existe une partie finie <math>J</math> de <math>I</math> telle que <math>A\subset\cup_{i\in J}O_i</math>.
