« Topologie générale/Compacité » : différence entre les versions
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m →Espaces métriques compacts : justifié sens facile de l'équivalence + énoncé lemme nombre de Lebesgue |
m →Espaces métriques compacts : preuve du lemme |
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==Espaces métriques compacts==
D'après la remarque [[#Définitions|ci-dessus]] sur les intersections de fermés, dans un espace métrique compact, l'ensemble <math>\bigcap_{n\in\N}\overline{\{u_k\mid k\geq n\}}</math> des valeurs d'adhérence d'une suite <math>(u_n)</math> est toujours non vide donc <math>(u_n)</math> a au moins une sous-suite convergente. On résume cela en disant que tout espace métrique compact est '''séquentiellement compact'''. La réciproque, moins évidente, est aussi vraie :
{{Théorème|titre=Théorème de [[w:Bernard Bolzano|Bolzano]]-[[w:Karl Weierstrass|Weierstrass]]|contenu=
Ligne 97 :
Pour démontrer ce théorème, nous utiliserons le lemme suivant :
{{Lemme|contenu=
Si ''E'' est un espace métrique séquentiellement compact alors, pour tout recouvrement ouvert <math>(U_i)_{i\in I}</math> de ''E'', il existe un réel ''r'' > 0 (appelé '''nombre de Lebesgue du recouvrement''') tel que toute boule ouverte de rayon ''r'' soit incluse dans au moins l'un des <math>U_i</math>.
}}
{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration du lemme|contenu=Par l'absurde. On suppose <math>\forall r>0\quad\exists x\in E\quad\forall i\in I\quad B\left(x,r\right)\not\subset U_i</math> en particulier <math>\forall n\in\N\quad\exists x_n\in E\quad\forall i\in I\quad B\left(x_n,2^{-n}\right)\not\subset U_i</math>.
''E'' est séquentiellement compact donc <math>\left(x_n\right)</math> admet une sous-suite convergente <math>\left(x_{\varphi\left(n\right)}\right)</math>. Sa limite, notée <math>x</math>, appartient à l'un des <math>U_i</math>, disons <math>U_{i_0}</math>. Cet ouvert contient alors une boule ouverte de centre <math>x</math>, dont nous noterons <math>\varepsilon</math> le rayon.
Pour <math>n</math> assez grand, <math>d\left(x_{\varphi\left(n\right)},x\right)+2^{-\varphi(n)}\le\varepsilon</math>. On a alors <math>B\left(x_{\varphi\left(n\right)},2^{-\varphi\left(n\right)}\right)\subset U_{i_0}</math>, ce qui est absurde.
}}
{{Bas de page
| idfaculté = mathématiques
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