« Topologie générale/Compacité » : différence entre les versions

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m →‎Espaces métriques compacts : preuve du lemme
→‎Espaces métriques compacts : fin de preuve de BW
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D'après la remarque [[#Définitions|ci-dessus]] sur les intersections de fermés, dans un espace métrique compact, l'ensemble <math>\bigcap_{n\in\N}\overline{\{u_k\mid k\geq n\}}</math> des valeurs d'adhérence d'une suite <math>(u_n)</math> est toujours non vide donc <math>(u_n)</math> a au moins une sous-suite convergente. On résume cela en disant que tout espace métrique compact est '''séquentiellement compact'''. La réciproque, moins évidente, est aussi vraie :
 
{{Théorème|titre=Théorème de [[w:Bernard Bolzano|Bolzano]]-[[w:Karl Weierstrass|Weierstrass]]|contenu={{Wikipédia|Théorème de Bolzano-Weierstrass}}
Un espace métrique ''E'' est compact si et seulement si toute suite dans ''E'' admet une sous-suite convergente.
}}
 
Pour démontrer ce théorème, nous utiliserons ledeux lemme suivantlemmes :
 
{{Lemme|contenu=
{{Lemme|titre=Lemme 1|contenu={{Wikipédia|Espace précompact}}
Si ''E'' est un espace métrique séquentiellement compact alors, pour tout recouvrement ouvert <math>(U_i)_{i\in I}</math> de ''E'', il existe un réel ''r'' > 0 (appelé '''nombre de Lebesgue du recouvrement''') tel que toute boule ouverte de rayon ''r'' soit incluse dans au moins l'un des <math>U_i</math>.
Si un espace métrique ''E'' est séquentiellement compact alors il est '''précompact''', c'est-à-dire que pour tout réel ε > 0, ''E'' est réunion d'une famille finie de boules de rayon ε.
}}{{Démonstration déroulante|contenu=Par contraposition : si, pour un certain ε > 0, aucune union finie de boules ouvertes de rayon ε ne remplit ''E'', alors on peut construire par récurrence une suite <math>(u_n)</math> telle que
:<math>\forall n\in\N\quad u_n\notin\cup_{k<n}B\left(u_k,\varepsilon\right)</math>.
Une telle suite vérifie :
:<math>\forall\left(i,j\right)\in\N^2\quad i\neq j\Rightarrow d\left(u_i,u_j\right)\ge\varepsilon</math>
donc elle n'admet pas de sous-suite de Cauchy ni, ''a fortiori'', de sous-suite convergente, ce qui prouve que ''E'' n'est pas séquentiellement compact.
}}
 
{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration du lemme|contenu=Par l'absurde. On suppose <math>\forall r>0\quad\exists x\in E\quad\forall i\in I\quad B\left(x,r\right)\not\subset U_i</math> en particulier <math>\forall n\in\N\quad\exists x_n\in E\quad\forall i\in I\quad B\left(x_n,2^{-n}\right)\not\subset U_i</math>.
 
{{Lemme|titre=Lemme 2|contenu={{Wikipédia|de:Lebesguezahl|Nombre de Lebesgue}}
Si un espace métrique ''E'' est un espace métrique séquentiellement compact alors, pour tout recouvrement ouvert <math>(U_i)_{i\in I}</math> de ''E'', il existe un réel ''r'' > 0 (appelé '''nombre de [[w:Henri Lebesgue|Lebesgue]] du recouvrement''') tel que toute boule ouverte de rayon ''r'' soit incluse dans au moins l'un des <math>U_i</math>.
}}
{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration du lemme|contenu=Par l'absurde. On suppose <math>\forall r>0\quad\exists x\in E\quad\forall i\in I\quad B\left(x,r\right)\not\subset U_i</math> en particulier <math>\forall n\in\N\quad\exists x_n\in E\quad\forall i\in I\quad B\left(x_n,2^{-n}\right)\not\subset U_i</math>.
 
''E'' est séquentiellement compact donc <math>\left(x_n\right)</math> admet une sous-suite convergente <math>\left(x_{\varphi\left(n\right)}\right)</math>. Sa limite, notée <math>x</math>, appartient à l'un des <math>U_i</math>, disons <math>U_{i_0}</math>. Cet ouvert contient alors une boule ouverte de centre <math>x</math>, dont nous noterons <math>\varepsilon</math> le rayon.
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Pour <math>n</math> assez grand, <math>d\left(x_{\varphi\left(n\right)},x\right)+2^{-\varphi(n)}\le\varepsilon</math>. On a alors <math>B\left(x_{\varphi\left(n\right)},2^{-\varphi\left(n\right)}\right)\subset U_{i_0}</math>, ce qui est absurde.
}}
{{Démonstration déroulante|titre=Preuve du théorème|contenu=
Il reste à démontrer que tout espace métrique séquentiellement compact est compact.
 
Soient ''E'' un espace métrique séquentiellement compact et <math>(U_i)_{i\in I}</math> un recouvrement ouvert de ''E''. Soit (par le lemme 2) <math>r>0</math> un nombre de Lebesgue de ce recouvrement :
:<math>\forall x\in E\quad\exists i(x)\in I\quad B\left(x,r\right)\subset U_{i(x)}</math>.
D'après le lemme 1, il existe une partie finie ''F'' de ''E'' telle que
:<math>E=\cup_{x\in F}B\left(x,r\right)</math>.
On en déduit que la sous-famille finie <math>\left(U_{i\left(x\right)}\right)_{x\in F}</math> recouvre ''E''.
}}
 
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| idfaculté = mathématiques