« Topologie générale/Compacité » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
m page_liée = Exercices/Compacité |
énoncé des th de Tychonoff et d'Alexander |
||
Ligne 39 :
{{Remarque|titre=Remarques|contenu=
*La propriété des recouvrements dans la définition de la compacité s'appelle la '''propriété de [[w:Émile Borel|Borel]]-[[w:Henri Lebesgue|Lebesgue]]'''. Un espace non nécessairement séparé qui la vérifie est dit '''quasi-compact'''.
*Par
*Par définition de la topologie induite, une partie <math>A</math> d'un espace ''X'' est quasi-compacte si et seulement si pour toute famille <math>(O_i)_{i\in I}</math> d'ouverts de ''X'' telle que <math>A\subset\cup_{i\in I}O_i</math>, il existe une partie finie <math>J</math> de <math>I</math> telle que <math>A\subset\cup_{i\in J}O_i</math>.
}}
Ligne 71 ⟶ 72 :
{{Démonstration déroulante
|contenu=
Montrons plus précisément que toute partie fermée d'un espace quasi-compact est quasi-compacte.
Soit <math>A</math> une partie fermée d'un espace compact <math>X</math> et soit <math>(O_i)_{i\in I}</math> une famille d'ouverts de <math>X</math> dont la réunion contient <math>A</math>. En lui adjoignant l'ouvert <math>X\setminus A</math>, on obtient un recouvrement ouvert de <math>X</math>.
Puisque <math>X</math> est compact, il existe alors une partie finie <math>J</math> de <math>I</math> telle que <math>X=\left(X\setminus A\right)\cup\cup_{i\in J}O_i</math>, si bien que <math>A\subset\cup_{i\in J}O_i</math>.
}}
{{Proposition
Ligne 83 ⟶ 87 :
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu
Soit <math>X</math> un espace
#Soient <math>A_1,\cdots,A_N</math> des parties quasi-compactes de <math>X</math> et <math>A</math> leur réunion.<br>Soit <math>(O_i)_{i\in I}</math> une famille d'ouverts de <math>X</math> dont la réunion contient <math>A</math>. Alors, pour tout <math>1\le k\le N</math>, <math>A_k\subset\cup_{i\in I}O_i</math> donc il existe une partie finie <math>J_k</math> de <math>I</math> telle que <math>A_k\subset\cup_{i\in J_k}O_i</math>.<br>L'ensemble <math>J:=\cup_{k=1}^NJ_k</math> est alors fini, et <math>A\subset\cup_{i\in J}O_i</math>, ce qui prouve que <math>A</math> est quasi-compact.
#Supposons <math>X</math> séparé. Soient <math>\left(B_t\right)_{t\in T}</math> une famille non vide de parties compactes de <math>X</math>, <math>B:=\cap_{t\in T}B_t</math> et <math>t_0\in T</math>. Dans <math>X</math>, tous les <math>B_t</math> sont fermés (comme parties compactes d'un espace séparé) donc <math>B</math> est fermé.<br>Or <math>B\subset B_{t_0}</math>. C'est donc un compact, comme partie fermée d'un compact.
}}
Ligne 93 ⟶ 97 :
{{Théorème|titre=Théorème de [[w:Bernard Bolzano|Bolzano]]-[[w:Karl Weierstrass|Weierstrass]]|contenu={{Wikipédia|Théorème de Bolzano-Weierstrass}}
Un espace métrique ''E'' est compact si (et seulement si) toute suite dans ''E'' admet une sous-suite convergente.
}}
Ligne 109 ⟶ 113 :
{{Lemme|titre=Lemme 2|contenu={{Wikipédia|de:Lebesguezahl|Nombre de Lebesgue}}
Si un espace métrique ''E'' est séquentiellement compact alors, pour tout recouvrement ouvert <math>(U_i)_{i\in I}</math> de ''E'', il existe un réel ''r'' > 0 (appelé '''nombre de
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=Par l'absurde. On suppose <math>\forall r>0\quad\exists x\in E\quad\forall i\in I\quad B\left(x,r\right)\not\subset U_i</math> en particulier <math>\forall n\in\N\quad\exists x_n\in E\quad\forall i\in I\quad B\left(x_n,2^{-n}\right)\not\subset U_i</math>.
Ligne 125 ⟶ 129 :
:<math>E=\cup_{x\in F}B\left(x,r\right)</math>.
On en déduit que la sous-famille finie <math>\left(U_{i\left(x\right)}\right)_{x\in F}</math> recouvre ''E''.
}}
==Produit d'espaces compacts==
{{Théorème|titre=Théorème de [[w:Andreï Nikolaïevitch Tikhonov|Tychonoff]]|contenu={{Wikipédia|Théorème de Tykhonov|Théorème de Tychonoff}}Tout produit d'espaces compacts est compact.}}
Plus précisément, tout [[../Espace produit|espace produit]] d'une famille (non nécessairement finie) d'espaces quasi-compacts est quasi-compact. Pour le démontrer, nous nous servirons du théorème suivant :
{{Théorème|titre=Théorème d'[[w:James Waddell Alexander II|Alexander]]|contenu={{Wikipédia|Prébase#Propriétés|Théorème d'Alexander}}Soit ''A ''une [[../Bases#Prébase|prébase]] d'un espace topologique ''X''. Pour que ''X'' soit quasi-compact, il suffit que tout recouvrement de ''X par des ouverts de A'' possède un sous-recouvrement fini.
}}
| |||