« Topologie générale/Compacité » : différence entre les versions

Contenu supprimé Contenu ajouté
énoncé des th de Tychonoff et d'Alexander
→‎Produit d'espaces compacts : preuves de ces 2 th
Ligne 135 :
Plus précisément, tout [[../Espace produit|espace produit]] d'une famille (non nécessairement finie) d'espaces quasi-compacts est quasi-compact. Pour le démontrer, nous nous servirons du théorème suivant :
{{Théorème|titre=Théorème d'[[w:James Waddell Alexander II|Alexander]]|contenu={{Wikipédia|Prébase#Propriétés|Théorème d'Alexander}}Soit ''A ''une [[../Bases#Prébase|prébase]] d'un espace topologique ''X''. Pour que ''X'' soit quasi-compact, il suffit que tout recouvrement de ''X par des ouverts de A'' possède un sous-recouvrement fini.
}}
{{Démonstration déroulante|titre=Preuve du théorème d'Alexander|contenu=
Nous dirons qu'une famille d'ouverts est :
*non couvrante (NC) si elle ne recouvre pas ''X'' ;
*non finiment couvrante (NFC) si ses sous-familles finies sont non couvrantes.
On suppose donc que toute famille NFC d'<u>ouverts de ''A''</u> est NC, et il s'agit de montrer qu'il en est de même pour les familles d'<u>ouverts quelconques</u>.
 
Soit ''F'' une famille NFC d'ouverts. Soit ''E'' l'ensemble des familles NFC d'ouverts dont ''F'' est une sous-famille. Alors, (''E'', ⊂) est [[w:Ensemble inductif|inductif]], c'est-à-dire que tout sous-ensemble ''E’'' de ''E'' sur lequel l'ordre ⊂ est total admet un majorant (un élément de ''E'' dans lequel tous les éléments de ''E’'' sont inclus) : il suffit de prendre la réunion des éléments de ''E’'' (elle est bien NFC, car toute sous-famille finie de cette réunion est une sous-famille de l'un des éléments de ''E’''). D'après le [[w:Lemme de Zorn|lemme de Zorn]], (''E'', ⊂) admet donc un [[w:Élément maximal|élément maximal]] ''F’''. Nous allons montrer que ''F’'' est NC (''a fortiori'', ''F'' sera NC).
 
Remarquons que par maximalité de ''F’'', un ouvert ''U'' n'appartient pas à ''F’'' (si et) seulement si ''X'' est recouvert par ''U'' et une réunion finie d'ouverts de ''F’''. Par conséquent, l'ensemble des ouverts n'appartenant pas à ''F’'' est stable par intersections finies et par « sur-ouverts » (ouverts contenant un élément de cet ensemble).
 
''A''∩''F’'' est NFC donc est NC (par hypothèse sur ''A'') :
:<math>X\not\subset\cup_{V\in A\cap F'}U</math>.
Pour conclure que ''F’'' est NC, il ne reste plus qu'à vérifier que
:<math>\cup_{U\in F'}U\subset\cup_{V\in A\cap F'}</math>.
Soient <math>U\in F'</math> et <math>x\in U</math>. Comme ''A'' est une prébase, il existe <math>V_1,\dots,V_n\in A</math> tels que <math>x\in V_1\cap\dots\cap V_n\subset U</math>. D'après la remarque précédente, l'un des <math>V_i</math> appartient alors à ''F’'', ce qui achève la preuve.
}}
{{Démonstration déroulante|titre=Preuve du théorème de Tychonoff|contenu=
Soit <math>(X_i)_{i\in I}</math> une famille d'espaces quasi-compacts et <math>X</math> leur produit. Une prébase de la topologie sur ''X'' est :
:<math>A:=\cup_{i\in I}A_i\quad\text{avec}\quad A_i:=\left.\left\{U\times\prod_{j\in I\setminus\{i\}}X_j~\right|~U\text{ ouvert de }X_i\right\}</math>.
Il s'agit (en utilisant le théorème d'Alexander et le vocabulaire de sa preuve) de montrer que toute sous-famille ''R'' ⊂ ''A'' qui est NFC est NC.
 
Pour tout <math>i\in I</math>, la sous-famille <math>R\cap A_i\subset R</math> est NFC sur ''X'' donc sa ''i''-ème projection,
:<math>R_i:=\left\{U\text{ ouvert de }X_i~\left|~U\times\prod_{j\in I\setminus\{i\}}X_j\in R\right\}\right.</math>,
est NFC sur <math>X_i</math>, et même NC puisque <math>X_i</math> est quasi-compact.
 
En invoquant l'[[w:Axiome du choix|axiome du choix]], on en déduit l'existence d'un <math>x\in X</math> tel que
:<math>\forall i\in I\quad x_i\notin\cup_{U\in R_i}U</math>,
c.-à-d.
:<math>x\notin\cup_{i\in I,~V\in R\cap A_i}V=\cup_{V\in R}V</math>,
donc ''R'' est bien NC.
}}