« Topologie générale/Continuité et homéomorphismes » : différence entre les versions

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{{Exemple|contenu=1 ⇒ 2 (resp. 1 ⇒ 3) est souvent utile pour démontrer :
{{Exemple|contenu=1 ⇒ 2 (resp. 1 ⇒ 3) est souvent utile pour démontrer *qu'une partie est ouverte (resp. fermée). Par exemple, tout [[w:Hyperplan#Hyperplans affines|hyperplan affine]] de <math>\R^n</math> est de la forme <math>H=\{x\in\R^n\mid f(x)=c\}</math> avec <math>c\in\R</math> et <math>f\ne0</math> [[Application linéaire/Définitions#Applications linéaires particulières|forme linéaire]] sur <math>\R^n</math> ([[Espaces vectoriels normés/Dimension finie#Espaces vectoriels normés de dimension finie|nécessairement continue]]), donc <math>H</math> est un fermé de <math>\R^n</math>. ;
*qu'elle ne l'est pas. Par exemple dans <math>\R^2</math>, <math>A:=\{(x,y)\in\R^2\mid|x|=1,|y|\ne1\}</math><!--
 
et <math>B:=\{(x,y)\in\R^2\mid|x|<1,|xy|=1\}</math> ne sont ni ouverts, ni fermés car dans <math>\R</math>, <math>[x\mapsto(x,0)]^{-1}(A)=\{-1,1\}</math> et ? ne sont pas ouverts et <math>[y\mapsto(1,y)]^{-1}(A)=\R\setminus\{-1,1\}</math> et ? ne sont pas fermés.
 
--> n'est ni ouvert, ni fermé car dans <math>\R</math>, <math>[x\mapsto(x,0)]^{-1}(A)=\{-1,1\}</math> n'est pas ouvert et <math>[y\mapsto(1,y)]^{-1}(A)=\R\setminus\{-1,1\}</math> n'est pas fermé.
}}
 
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