« Topologie générale/Espace métrique » : différence entre les versions
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{{Théorème|contenu=Tout produit fini ou dénombrable d'espaces métriques est métrisable. Plus précisément, pour toute suite <math>(E_k,d_k)_{k\in\N}</math> d'espaces métriques, on obtient une distance <math>d</math> dont la topologie associée coïncide avec la topologie produit :
*sur <math>\prod_{k=1}^nE_k</math> (<math>\forall n\in\N</math>), en posant<div style="text-align: center;"><math>d\Big((x_1,\ldots,x_n),(y_1,\ldots,y_n)\Big):=N\Big(d_1(x_1,y_1),\ldots,d_n(x_n,y_n)\Big)</math></div>où <math>N</math> est n'importe quelle norme sur <math>\R^n</math> croissante sur <math>(\R_+)^n</math> pour l'[[w:Relation d'ordre#ordreproduit|ordre produit]] ;
*sur <math>\prod_{k\in\N}E_k</math>, en posant <math>d'_k=\
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=Le fait que <math>d</math> est une distance dans les deux cas, et que dans le premier cas elle définit bien la topologie du produit fini, est laissé en exercice. Montrons seulement que dans le second cas, la topologie associée à la distance <math>d</math> coïncide avec la topologie du produit dénombrable. Remarquons d'abord que pour tout <math>k\in\N</math>, <math>d'_k</math> est une [[w:Équivalence des distances|distance équivalente]] à <math>d_k</math>, puis vérifions que chacune des deux topologies sur ∏{{ind|''k''∈ℕ}}''E{{ind|k}}'' est incluse dans l'autre :
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