« Espaces vectoriels normés/Compacité » : différence entre les versions

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(→‎Valeurs d'adhérence : rectif + précision + mep + transfert dans ../Limites et continuité d'un critère de convergence sans rapport avec la compacité)
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===Valeurs d'adhérence ===
{{Définition
|titre = Définition : Suite extraite, Valeurvaleur d'adhérence
|contenu =
Soit <math>a\in E</math> et <math>(u_n)</math> une suite de <math>E</math>.
 
*On dit que <math>(u_{n_k})_{k\in \N}</math> est une '''[[Approfondissement sur les suites numériques/Suites extraites|suite extraite]]''' de <math>(u_n)_{n\in \N}</math> si la suite <math>(n_k)</math> est à valeurs dans <math>\N</math> et strictement croissante.
*On dit quequ'un élément <math>a\in E</math> est une '''valeur d'adhérence''' de <math>(u_n)</math> s'ilsi existetout unevoisinage suite<math>V</math> extraitede <math>(u_{n_k})_{k\in \N}a</math> quicontient convergeune versinfinité de termes de la suite, autrement dit : <math>a\forall N\in\N\quad\exist n\ge N\quad x_n\in V</math>.
}}
 
{{Proposition
Dans un e.v.n. ou plus généralement dans un [[Topologie générale/Espace métrique|espace métrique]], on a :
 
{{Proposition|titre=Proposition : [[Topologie générale/Espace métrique#Topologie|lien entre valeurs d'adhérence et sous-suites]]
|contenu =
Soit <math>a\in E</math> et <math>(u_n)</math> une suite de <math>E</math>.
 
#<math>a</math> est une valeur d'adhérence de <math>(u_n)</math> si et seulement si tout voisinage <math>V</math> de <math>a</math> contient une infinité de termes de la suite, autrement dit : <math>\forall N\in\N\quad\exist n>N\quad x_n\in V</math>.
#Un élément <math>(u_n)a\in E</math> convergeest versune valeur d'adhérence de <math>a(u_n)</math> (si et) seulement sis'il existe une [[Approfondissement toutessur sesles suites numériques/Suites extraites|suite convergent versextraite]] <math>a(u_{n_k})_{k\in \N}</math>.<br>En particulier, si une suitequi converge alors sa limitevers est son unique valeur d'adhérence<math>a</math>.
}}
 
Rappelons que si une suite converge vers <math>a</math> alors toutes ses sous-suites convergent vers <math>a</math>. Par conséquent (d'après la proposition ci-dessus), <math>a</math> est alors son unique valeur d'adhérence.
{{Proposition
 
|titre = Proposition : caractérisation séquentielle de la compacité
Dans un e.v.n. ou plus généralement dans un espace métrique, on a en outre une caractérisation séquentielle de la compacité :
{{Théorème
|titre =[[Topologie générale/Compacité#Espaces métriques compacts|Théorème de Bolzano-Weierstrass]]
|contenu =
:SoitUne partie <math>A\subset E</math>. de <math>AE</math> est compacte si et seulement si toute suite de <math>A</math> admet une valeur d'adhérence dans <math>a\in A</math>.
}}
 
Exemple d'application :
{{Proposition
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