« Topologie générale/Complétude » : différence entre les versions
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Diamètre d'une partie |
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{{clr}}
==Diamètre d'une partie==
{{Définition|contenu=
{{Wikipédia|Diamètre}}
Dans un espace métrique (''E'', ''d''), le diamètre d'une partie non vide ''A'' est la [[Introduction aux mathématiques/Relations binaires#Relations d'ordre|borne supérieure]] (dans l'ensemble ordonné [[Topologie générale/Ordre#Topologie de l’ordre|{{formule|<nowiki>[</nowiki>0, +∞<nowiki>]</nowiki>}}]]) des distances entre deux points de ''A'' :
<center>
<math>{\rm diam}(A)=
\sup\;\{d(a,b)\mid a\in A ,~b\in A\}.
</math>
</center>
Ainsi, le diamètre d'une partie non vide est un réel positif si cette partie est [[w:Partie bornée|bornée]], et il vaut {{formule|+∞}} sinon.
}}
==Suite de Cauchy==
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<div style="text-align: center;"><math>\forall\varepsilon>0\quad\exists N\in\N\quad\forall p,q\ge N\quad d(u_p,u_q)\le\varepsilon</math>,</div>
autrement dit si
<div style="text-align: center;">le
ou encore si
<div style="text-align: center;"><math>\lim_{n\to\infty}\sup_{m\ge n}d(u_m,u_n)=0</math>.</div>
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{{Théorème|titre=Théorème des fermés emboîtés|contenu={{Wikipédia|Théorème des fermés emboîtés}}
Dans un espace métrique complet, pour toute suite décroissante de fermés non vides <math>F_n</math> dont le
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
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