« Topologie générale/Compacité » : différence entre les versions
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Compacité et applications continues |
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==Compacité et applications continues==
Le théorème suivant généralise le [[Fonctions d'une variable réelle/Continuité#Théorèmes sur les fonctions continues|théorème des bornes]], selon lequel l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Image directe, image réciproque d’une partie par une application|image]] d'un segment [''a'', ''b''], par une application continue à valeurs dans '''R''', est bornée et contient ses deux bornes.
{{Théorème|contenu=
L'
{{Démonstration déroulante|contenu=
Montrons que plus généralement, l'image d'un quasi-compact ''C'' par une application continue ''f'' : ''C'' → ''Y'' (avec ''Y'' non nécessairement séparé) est quasi-compacte<ref>Même le [[Application (mathématiques)/Graphe#Graphe d'une fonction|graphe de ''f'']] est donc quasi-compact, comme image de ''C'' par l'application continue ''x'' ↦ (''x'', ''f''(''x'')), et [[w:Hémicontinuité#Propriétés|ces propriétés s'étendent aux fonctions multivaluées]].</ref>. Considérons un recouvrement de ''f''(''C'') par des ouverts de ''f''(''C'') (pour la topologie induite) ; son [[Application (mathématiques)/Définitions#Image directe, image réciproque d’une partie par une application|image réciproque]] par ''f'' est un recouvrement ouvert de ''C'', dont on peut extraire un sous-recouvrement fini. L'image par ''f'' de ce sous-recouvrement est un sous-recouvrement fini de ''f''(''C'') extrait du recouvrement initial.
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