« Topologie générale/Complétude » : différence entre les versions
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→Propriétés : produit |
→Propriétés : complétude de ℝ et ℝ^n |
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===Propriétés===
{{Proposition|titre=Premières propriétés|contenu=
*ℝ est complet (pour la distance usuelle ''d''(''x'', ''y'') = {{!}}''x – y''{{!}}).
*Tout sous-espace fermé d'un espace complet est complet.
*Tout sous-espace complet d'un espace métrique est fermé.
*Si
*Tout produit fini ou dénombrable d'espaces métriques complets (muni d'[[../Espace métrique#Produit d'espaces métriques|une distance appropriée]]) est complet ; par exemple, ℝ{{exp|''n''}} est complet pour la [[Espaces vectoriels normés/Définitions - Éléments de Topologie#Définitions|distance associée à la norme ∥ ∥{{ind|''p''}}]], pour tout ''p'' ∈ [1, +∞].
}}
{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration de la complétude de ℝ|contenu=
Soit une suite de Cauchy dans ℝ. Elle est donc [[Approfondissement sur les suites numériques/Définitions avancées#Suite bornée|bornée]], si bien qu'[[Approfondissement sur les suites numériques/Suites extraites#Théorème de Bolzano-Weierstrass|on peut en extraire une sous-suite convergente]]. On conclut en utilisant que toute suite de Cauchy admettant une sous-suite convergente est elle-même convergente.}}
{{Théorème|titre=Théorème des fermés emboîtés|contenu={{Wikipédia|Théorème des fermés emboîtés}}
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