« Topologie générale/Espace métrique » : différence entre les versions

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==Produit d'espaces métriques==
{{Théorème|contenu=Tout produit fini ou dénombrable d'espaces métriques est métrisable. Plus précisément, pour toute suite <math>(E_k,d_k)_{k\in\N}</math> d'espaces métriques, on obtient une distance <math>d</math> dont la topologie associée coïncide avec la topologie produit :
*sur <math>\prod_{k=1}^nE_k</math> (<math>\forall n\in\N</math>), en posant<div style="text-align: center;"><math>d\Big((x_1,\ldots,x_n),(y_1,\ldots,y_n)\Big):=N\Big(d_1(x_1,y_1),\ldots,d_n(x_n,y_n)\Big)</math></div>où <math>N</math> est n'importe quelle norme sur <math>\R^n</math> croissante sur <math>(\R_+)^n</math> pour l'[[w:Relation d'ordre#ordreproduit|ordre produit]] (par exemple unela [[Espaces vectoriels normés/Définitions - Éléments de Topologie#Définitions|distance associée à laune norme ∥ ∥{{ind|''p''}}]], avec ''p'' ∈ [1, +∞]) ;
*sur <math>\prod_{k\in\N}E_k</math>, en posant <math>d'_k=\min(d_k,1)</math> (<math>\forall k\in\N</math>) puis<div style="text-align: center;"><math>d(x,y):=\sup_{k\in\N}\frac{d'_k(x_k,y_k)}{2^k}</math>.</div>
}}