« Espaces vectoriels normés/Espaces de Banach - Complétude » : différence entre les versions
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ℝ^n est complet |
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*<math>E</math> est dit ''[[Topologie générale/Complétude#Espace complet|complet]]'' si, dans <math>E</math>, toute suite de Cauchy est convergente.
* On appelle '''espace de Banach''' tout espace vectoriel normé complet.
}}
{{Exemple|contenu=
[[Topologie générale/Complétude#Espace complet|ℝ{{exp|''n''}} est complet]] pour la [[../Définitions - Éléments de Topologie#Définitions|norme ∥ ∥{{ind|''p''}}]], pour tout ''p'' ∈ [1, +∞].
}}
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mais ce majorant peut être <math>+\infty</math>.
:Une série à valeurs dans <math>E</math> est dite « absolument convergente » si elle vérifie : <math>\sum\|x_n\|<+\infty</math>.
Cette appellation est trompeuse car — contrairement au cas où <math>E</math> est de dimension finie — si <math>E</math> est un
{{Propriété|titre=Caractérisation|contenu=
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