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ℝ^n est complet
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(ℝ^n est complet)
*<math>E</math> est dit ''[[Topologie générale/Complétude#Espace complet|complet]]'' si, dans <math>E</math>, toute suite de Cauchy est convergente.
* On appelle '''espace de Banach''' tout espace vectoriel normé complet.
}}
 
{{Exemple|contenu=
[[Topologie générale/Complétude#Espace complet|ℝ{{exp|''n''}} est complet]] pour la [[../Définitions - Éléments de Topologie#Définitions|norme ∥ ∥{{ind|''p''}}]], pour tout ''p'' ∈ [1, +∞].
}}
 
mais ce majorant peut être <math>+\infty</math>.
:Une série à valeurs dans <math>E</math> est dite « absolument convergente » si elle vérifie : <math>\sum\|x_n\|<+\infty</math>.
Cette appellation est trompeuse car — contrairement au cas où <math>E</math> est de dimension finie — si <math>E</math> est un evne.v.n. quelconque, une telle série ne converge pas nécessairement dans <math>E</math> ; l'implication qu'elle sous-entend est en fait une caractérisation des espaces de Banach :
 
{{Propriété|titre=Caractérisation|contenu=
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