« Espaces vectoriels normés/Espaces de Banach - Complétude » : différence entre les versions

meftypo + ℝ^n est en fait complet pour toute norme (et pas seulement les normes ∥ ∥_p)
(ℝ^n est complet)
(meftypo + ℝ^n est en fait complet pour toute norme (et pas seulement les normes ∥ ∥_p))
}}
 
Dans toute la suite, <math>(''E'',\|.\| ∥ ∥)</math> est un espace vectoriel normé (evne.v.n.).
{{clr}}
== Définitions ==
| titre = Définition : [[Topologie générale/Complétude#Suite de Cauchy|suite de Cauchy]]
| contenu =
Une '''suite''' <math>(u_n)</math> d'éléments de <math>''E</math>'' est dite '''de Cauchy''' si :
<div style="text-align: center;"><math>\forall\varepsilon>0\quad\exist n\in\N\quad\forall p,q\in\N\quad p,q\ge n\Rightarrow \|u_q-u_p\|<\varepsilon</math>.</div>
}}
 
{{Définition
| titre = Définition : Espaceespace de [[w:Stefan Banach|Banach]]
| contenu ={{Wikipédia|Espace de Banach}}
*<math>''E</math>'' est dit ''[[Topologie générale/Complétude#Espace complet|complet]]'' si, dans <math>''E</math>'', toute suite de Cauchy est convergente.
* On appelle '''espace de Banach''' tout espace vectoriel normé complet.
}}
 
{{Exemple|contenu=
[[Topologie générale/Complétude#Espace complet|ℝ{{exp|''n''}} est complet]] pour la [[../Définitions - Éléments de Topologie#Définitions|norme ∥ ∥{{ind|''p''}}]], pour tout ''p'' ∈ [1, +∞] (donc en fait pour toutes les normes sur cet espace car, comme nous le verrons au chapitre suivant, toutes sont équivalentes).
}}
 
Pour toute série convergente à valeurs dans <math>''E</math>'', on a une majoration de la norme de la somme (par passage à la limite dans la majoration évidente des normes des sommes partielles) :
:<math>\left\|\sum_{n=0}^{+\infty}x_n\right\|\le\sum_{n=0}^{+\infty}\|x_n\|</math>,
mais ce majorant peut être <math>+\infty</math>.
:Une série à valeurs dans <math>''E</math>'' est dite «  absolument convergente  » si elle vérifie : <math>\sum\|x_n\|<+\infty</math>.
Cette appellation est trompeuse car — contrairement au cas où <math>''E</math>'' est de dimension finie — si <math>''E</math>'' est un e.v.n. quelconque, une telle série ne converge pas nécessairement dans <math>''E</math>'' ; l'implication qu'elle sous-entend est en fait une caractérisation des espaces de Banach :
 
{{Propriété|titre=Caractérisation|contenu=
<math>''E</math>'' est complet si et seulement si, dans <math>''E</math>'', toute série absolument convergente est convergente.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
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