« Espaces vectoriels normés/Espaces de Banach - Complétude » : différence entre les versions
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ℝ^n est complet |
meftypo + ℝ^n est en fait complet pour toute norme (et pas seulement les normes ∥ ∥_p) |
||
Ligne 7 :
}}
Dans toute la suite,
{{clr}}
== Définitions ==
Ligne 14 :
| titre = Définition : [[Topologie générale/Complétude#Suite de Cauchy|suite de Cauchy]]
| contenu =
Une '''suite''' <math>(u_n)</math> d'éléments de
<div style="text-align: center;"><math>\forall\varepsilon>0\quad\exist n\in\N\quad\forall p,q\in\N\quad p,q\ge n\Rightarrow \|u_q-u_p\|<\varepsilon</math>.</div>
}}
Ligne 25 :
{{Définition
| titre = Définition :
| contenu ={{Wikipédia|Espace de Banach}}
*
* On appelle '''espace de Banach''' tout espace vectoriel normé complet.
}}
{{Exemple|contenu=
[[Topologie générale/Complétude#Espace complet|ℝ{{exp|''n''}} est complet]] pour la [[../Définitions - Éléments de Topologie#Définitions|norme ∥ ∥{{ind|''p''}}]], pour tout ''p'' ∈ [1, +∞] (donc en fait pour toutes les normes sur cet espace car, comme nous le verrons au chapitre suivant, toutes sont équivalentes).
}}
Pour toute série convergente à valeurs dans
:<math>\left\|\sum_{n=0}^{+\infty}x_n\right\|\le\sum_{n=0}^{+\infty}\|x_n\|</math>,
mais ce majorant peut être <math>+\infty</math>.
:Une série à valeurs dans
Cette appellation est trompeuse car — contrairement au cas où
{{Propriété|titre=Caractérisation|contenu=
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
|