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Dans ce chapitre, nous allons étudier une nouvelle notion topologique : la compacité. Intuitivement, un espace sera dit compact s'il se comporte de manière similaire à un ensemble fini, notamment dans le comportement des fonctions définies sur cet espace. Par exemple, une fonction continue sur un compact sera bornée et atteindra ses bornes.
Dans toute la suite, <math>''E</math>'' est un <math>\R</math>ℝ-espace vectoriel normé.
{{clr}}
== Compacité ==
=== Définitions ===
{{Définition
| titre = Définition : Recouvrementrecouvrement ouvert, sous-recouvrement.
|contenu =
Soient <math>A</math> une partie de <math>E</math> et <math>(O_i)_{i\in I}</math> une [[Application (mathématiques)/Famille|famille]] de parties de <math>E</math>.
:On définit de même des recouvrements fermés, bornés, etc.
{{Définition
| titre = Définition : Partiepartie compacte.
| contenu =
SoitOn <math>A</math>dit qu'une partie ''A'' de <math>''E</math>. On dit que <math>A</math>'' est '''compacte''' si pour tout recouvrement ouvert <math>(O_i)_{i\inde I}</math>''A'', il existe un sous-recouvrement fini.
}}
{{Proposition
Toute partie compacte de <math>E</math> est fermée.
{{Démonstration déroulante
|contenu =
Soit <math>A</math> une partie compacte de <math>E</math> ; montrons que <math>A</math> est fermé, c.-à-d.que <math>E\setminus A</math> est un voisinage de tout point <math>x\in E\setminus A</math>.
Pour tout <math>y\in A</math>, on peut trouver deux boules ouvertes disjointes, <math>B_y</math> contenant <math>y</math> et <math>B_y'</math> contenant <math>x</math>.
Ainsi, <math>(B_y)_{y\in A}</math> est un recouvrement ouvert de <math>A</math>, dont on peut extraire un sous-recouvrement fini <math>(B_y)_{y\in J}</math>.
On a alors <math>x\in O':=\cap_{y\in J} B_y'</math> qui est un ouvert car <math>J</math> est fini.
De plus, <math>O'</math> est disjoint de l'ouvert <math>O:=\cup_{y\in J}B_y</math>. On en déduit que <math>O'\subset E\setminus A</math> car <math>A\subset O</math>.
Ceci termine de montrer que <math>E\setminus A</math> est un voisinage de <math>x</math>.
}}
==Premières propriétés==
{{Proposition
|contenu =
Soit <math>A</math> une*Toute partie compacte de <math>''E</math>.'' Toute partieest fermée de <math>A</math> est compacte.
*Soit ''A'' une partie compacte de ''E''. Toute partie fermée de ''A'' est compacte.
#*Toute union finie de parties compactes de <math>''E </math>'' est compacte. ▼#*Toute intersection d'une famille non vide de parties compactes de <math>''E </math>'' est compacte. ▼}}
{{Démonstration déroulante|contenu=Voir [[Topologie générale/Compacité#Premières propriétés]] ou [[Topologie générale/Exercices/Compacité#Exercice 1]].
{{Démonstration déroulante
|contenu=
Soit <math>B</math> une partie fermée de <math>A</math> et soit <math>(O_i)_{i\in I}</math> un recouvrement ouvert de <math>B</math>. En lui adjoignant l'ouvert <math>E\setminus B</math>, on obtient un recouvrement ouvert de <math>A</math>.
Puisque <math>A</math> est compact, il existe alors une partie finie <math>J</math> de <math>I</math> telle que <math>A\subset\left(E\setminus B\right)\cup\cup_{i\in J}O_i</math>, si bien que <math>B\subset\cup_{i\in J}O_i</math>.
}}
{{Proposition
| contenu=
▲#Toute union finie de parties compactes de <math>E</math> est compacte.
▲#Toute intersection d'une famille non vide de parties compactes de <math>E</math> est compacte.
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu =
#Soient <math>A_1,\cdots,A_N</math> des parties compactes de <math>E</math> et <math>A</math> leur réunion.<br>Soit <math>(O_i)_{i\in I}</math> un recouvrement ouvert de <math>A</math>. Alors, pour tout <math>1\le k\le N</math>, <math>(O_i)_{i\in I}</math> est un recouvrement ouvert de <math>A_k</math>, dont on peut extraire un sous-recouvrement fini <math>(O_i)_{i\in J_k}</math>.<br>L'ensemble <math>J:=\cup_{k=1}^NJ_k</math> est alors fini, et <math>(O_i)_{i\in J}</math> est un recouvrement de <math>A</math>.
#Soient <math>\left(B_t\right)_{t\in T}</math> une famille non vide de parties compactes de <math>E</math>, <math>B:=\cap_{t\in T}B_t</math> et <math>t_0\in T</math>. On sait que tous les <math>B_t</math> sont fermés, et donc <math>B</math> est fermé.<br>Or <math>B\subset B_{t_0}</math>. C'est donc un compact, comme partie fermée d'un compact.
}}
===Valeurs d'adhérence ===
{{Définition
|titre = Définition : valeur d'adhérence
|contenu =
Soit <math>(u_n)</math> une suite de <math>''E</math>''.
On dit qu'un élément <math>a\in E</math> est une '''valeur d'adhérence''' de <math>(u_n)</math> si tout voisinage <math>V</math> de <math>a</math> contient une infinité de termes de la suite, autrement dit : <math>\forall N\in\N\quad\exist n\ge N\quad x_n\in V</math>.
{{Proposition|titre=Proposition : [[Topologie générale/Espace métrique#Topologie|lien entre valeurs d'adhérence et sous-suites]]
|contenu =
Soit <math>(u_n)</math> une suite de <math>''E</math>''.
Un élément <math>a\in E</math> est une valeur d'adhérence de <math>(u_n)</math> si et seulement s'il existe une [[Approfondissement sur les suites numériques/Suites extraites|suite extraite]] <math>(u_{n_k})_{k\in \N}</math> qui converge vers <math>a</math>.
|titre =[[Topologie générale/Compacité#Espaces métriques compacts|Théorème de Bolzano-Weierstrass]]
|contenu =
Une partie <math>''A</math>'' de <math>''E</math>'' est compacte si et seulement si toute suite de <math>''A</math>'' admet une valeur d'adhérence dans <math>''A</math>''.
}}
{{Proposition
|contenu =
:Soient <math>''E,\'' et ''F</math>'' deux e.v.n. et <math>''A</math>'' (resp. <math>''B</math>'') une partie compacte de <math>''E</math>'' (resp. <math>''F</math>''). Alors, <math>''A\times ''×''B</math>'' est une partie compacte de <math>''E\times ''×''F</math>''.
}}
=== Compacité et applications continues ===
Soient ''E'' et ''F'' deux e.v.n., ''A'' une partie compacte de ''E'', et ''f'' : ''A'' → ''F'' une application continue.
Alors, [[Topologie générale/Compacité#Compacité et applications continues|''f''(''A'') est une partie compacte]] de ''F''.
== Parties bornées==
===Diamètre d'une partie ===
=== Parties bornées et compacité ===
{{Théorème|contenu=Toute partie compacte d'un e.v.n. [[Topologie générale/Compacité#Espaces métriques compacts|est (précompacte donc) bornée]].}}
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