« Topologie générale/Compacité » : différence entre les versions

D'après la remarque [[#Définitions|ci-dessus]] sur les intersections de fermés, dans un espace métrique compact, l'ensemble <math>\bigcap_{n\in\N}\overline{\{u_k\mid k\geq n\}}</math> des valeurs d'adhérence d'une suite <math>(u_n)</math> est toujours non vide donc <math>(u_n)</math> a au moins une sous-suite convergente. On résume cela en disant que tout espace métrique compact est '''séquentiellement compact''' (ce qui prouve au passage qu'il est complet). La réciproque, moins évidente, est aussi vraie :